Les personnes peu familiarisées avec les conceptions mathématiques, conçoivent difficilement qu’en multipliant indéfiniment les divisions, on ne doive pas arriver à une quantité qui sera contenue un nombre exact de fois dans le diamètre et dans la circonférence ; c’est dire qu’elles ne croient point à l’existence de quantités incommensurables, ou de quantités qui n’ont aucune mesure commune, car c’est bien là le sens de l’expression incommensurable.
Mais qu’elles songent à un carré dont les côtés soient représentés par l’unité, la diagonale aura alors pour longueur, mathématiquement, le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 2 pour produit. Ce nombre n’est évidemment pas entier, puisque 1 multiplié par 1 donne pour produit 1, et que le nombre suivant entier 2 multiplié par lui-même, donne déjà pour produit 4. Or, quelle que soit l’étendue qu’on donne à la fraction qui accompagnera 1, le produit de ce nombre fractionnaire ne sera jamais 2, mais on approchera aussi près qu’on voudra.
Lorsqu’on a un exemple si simple et si vulgaire d’incommensurabilité, quelle raison peut-on produire pour refuser de croire que le diamètre d’un cercle et sa circonférence sont dans le même cas.
L’existence de cette incommensurabilité a été établie par Lambert, et ensuite par Legendre, à l’aide d’une démonstration mathématique, qui est trop compliquée pour qu’il me soit possible d’en donner ici une idée, même superficielle.
