![{\displaystyle \operatorname {d} \omega ={\frac {-c\operatorname {d} z}{\sqrt {2\int {\frac {R\operatorname {d} z}{z^{2}}}-c^{2}z^{2}+c'}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf7906366aade99ec6c7252eca03fdd61c454f44)
et il suffit d’intégrer de nouveau les deux membres pour avoir
iv. Les quantités
dépendent des conditions du mouvement initial, ou plutôt des conditions du mouvement à une époque donnée quelconque, prise pour origine des temps. Ainsi nous admettons que
est la vîtesse qui répond à une position déterminée de
pour laquelle on suppose à
la valeur particulière
et nous représentons par
l’angle que fait la direction de la vîtesse
avec ce dernier rayon vecteur.
et
étant connus, on en déduit
. En effet, on peut décomposer la vîtesse
dans les deux vîtesses partielles
dont la seconde est dans le sens du rayon vecteur, tandis que l’autre lui est perpendiculaire. Donc
sont les espaces infiniment petits que le mobile, dans l’instant
parcourt suivant ces deux directions ; et comme ces espaces sont aussi exprimés respectivement par
et
on en conclut
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{1}r_{0}\operatorname {d} \omega _{0}&=v_{0}\operatorname {d} t\operatorname {Sin} .\theta ,\\\operatorname {d} r_{0}&=v_{0}\operatorname {d} t\operatorname {Cos} .\theta .\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/447c4a4239a37798211885093e98430a29d4e4d6)
Il est facile de comprendre qu’on met
parce que ces quantités se rapportent à une position particulière du point
et qu’on laisse pourtant
au lieu de mettre
parce que
étant la variable indépendante, sa différentielle est constante, d’où.
En combinant avec l’équation (1) la première des deux égalités qu’on vient d’écrire, on a cette valeur de
![{\displaystyle c=v_{0}r_{0}\operatorname {Sin} .\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66f9e32ecbce2ae546cb4dd527dc28f13a8649bb)