La substitution des valeurs de et de , dans celle de donne ensuite
Ce qui est exactement conforme à ce que nous avions obtenu plus haut.
13. Ce procédé s’applique aisément à toute fonction de plusieurs variables, lorsqu’elle est du second degré. Il se simplifie toutes les fois que la fonction n’entre qu’à une seule puissance sous le radical qui fait partie de la valeur de la variable par rapport à laquelle on a résolu l’équation du problème. Cette particularité se rencontre dans la question qui suit :
Trouver un point tel que la somme des quarrés de ses distances à trois points donnés soit la moindre possible ?
On voit d’abord, sans calcul, que, si l’on conçoit un point quelconque situé hors du plan des trois points et qu’on projette ce point sur ce plan, les distances respectives du point pris dans l’espace aux trois points donnés seront plus grandes que les distances correspondantes de sa projection aux trois mêmes points. C’est donc sur le plan déterminé par ces trois points qu’il faut chercher le point demandé.
Plaçons au point l’origine des coordonnées rectangulaires, et faisons passer l’axe des par le point Les coordonnées du point seront ; celles du point seront celles du point seront et nous désignerons par celles du point Soit la somme dont le minimum est inconnu ; nous avons à traiter l’équation
