Écrivons la condition nécessaire pour que ces deux racines soient réelles. Cette condition est
![{\displaystyle a^{2}\geqq 3a^{2}-b^{2},\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc462b7468cc80531cb0de9bd251e42c76894ffd)
ou
![{\displaystyle \quad b^{2}\geqq 2a^{2}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3034cee48a2b94ed1e0e04b61e800a267c6a29e1)
(1)
Si l’une ou l’autre relation a lieu, nous en conclurons, d’après les valeurs obtenues pour
et
,
![{\displaystyle {\begin{array}{lr}p\geqq 4a\left(2a^{2}-a^{2}\right),\quad \mathrm {ou} \qquad p\geqq 4a^{3},&\qquad (2)\\q\leqq 3a^{4}.&(3)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1177f2e42cae789cba9d8479042581c9c7bdea)
Réciproquement, si les relations (2) et (3) existent, elles entraîneront la relation (1). Or,
étant des quantités positives, nous pouvons tirer de (2) et (3) les inégalités ou égalités
![{\displaystyle \left({\frac {p}{4}}\right)^{4}\geqq a^{12},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1711f8ba5ef8451a447aa77ca5f9696057bad11)
![{\displaystyle a^{12}\geqq \left({\frac {q}{3}}\right)^{3}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/688b3fa85f71973620f29a380a619ac1ec34ae45)
multiplions-les, membre à membre, et il viendra
![{\displaystyle \left({\frac {p}{4}}\right)^{4}\geqq \left({\frac {q}{3}}\right)^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c11ceb3efef6fd6b2a45be8dbb3ce30bc5d2f24d)
ou
![{\displaystyle q\leqq 3\left({\frac {p}{4}}\right)^{\frac {4}{3}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c829b36821fb1416b6bdc3244d6796ffc37ddfff)
ce qu’il fallait trouver, et ce qu’on peut d’ailleurs déduire de la