![{\displaystyle Y-y=-{\frac {x-a}{y}}(X-x),\qquad Y-y=-{\frac {y}{x}}(X-x)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61ac56120e8aac5ed2e9ed2740fd36ccc38adcaf)
pour le point
de contact des deux courbes, on a
![{\displaystyle -{\frac {x-a}{y}}=-{\frac {y}{x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92f125c1a6f044cd199053439736906cc25903e4)
ou
![{\displaystyle y^{2}=x^{2}-ax.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e032c0825063f48e8340ad0e7a481c40588dfdc)
(3)
cette équation, combinée avec l’équation (1), donne
![{\displaystyle x^{2}-ax=p^{2}-(x-a)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f6a69679999c65e905bbc3e80a1e3f79b413473)
d’où l’on tire
![{\displaystyle x^{2}-{\frac {3a}{2}}x+{\frac {a^{2}-p^{2}}{2}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba2108626a12791ea7ee50d22dd7fd93c7d089f6)
ce qui donne
![{\displaystyle x={\frac {3a}{4}}\pm {\frac {1}{4}}{\sqrt {a^{2}+8p^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01fc1bdb68ecb2879e5b7c57cc57b275f47476d4)
Celle des deux valeurs de
qui répond au signe
du radical doit être rejetée, si elle est positive, parce qu’elle est plus petite que
, ce qui, d’après l’équation (3), rendrait
imaginaire ; et si elle est négative, ce qui a lieu pour
il est évident qu’elle doit pareillement être exclue. Je ne m’arrêterai pas à calculer la valeur de
non plus que celle de l’aire maximum.
Je remarquerai seulement que la forme
![{\displaystyle {\frac {3a}{4}}+{\frac {a}{4}}{\sqrt {1+{\frac {8p^{2}}{a^{2}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41d99c5b597da932a263d6dc223913f38d5b6666)
sous laquelle on peut écrire la valeur convenable de
, indi-