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Observons que la condition de réalité

$q\leqq {\sqrt[{m-n}]{p^{m}\left\{{\sqrt[{m-n}]{\left({\frac {n}{m}}\right)^{n}}}-{\sqrt[{m-n}]{\left({\frac {n}{m}}\right)^{m}}}\right\}}}$

peut se transformer en celle-ci

$p\geqq {\frac {\sqrt[{m}]{q^{m-n}}}{\sqrt[{m}]{\left\{{\sqrt[{m-n}]{\left({\frac {n}{m}}\right)^{n}}}-{\sqrt[{m-n}]{\left({\frac {n}{m}}\right)^{m}}}\right\}^{m-n}}}}$

et que si, $q$ étant une quantité donnée, $p$ était une fonction de $x$ de la forme ${\frac {x^{m}+q}{x^{n}}},$ le second membre de cette dernière inégalité ou égalité serait la valeur minimum de $p$.

2. Voici les énoncés d’un certain nombre de problèmes qui ne sont que des cas particuliers de celui que je viens de résoudre.

Quel est le maximum de l’ordonnée $y$, 1.^o pour la courbe de Descartes $x^{3}-3axy+y^{3}=0\,;$ 2.^o pour la courbe $y={\frac {x}{2+x^{3}}}\,;$ 3.^o pour la courbe $ax^{3}-3axy^{2}+y^{4}=0\,;$ 4.^opour la courbe $x^{4}-axy^{2}+y^{4}=0\,;$ 5.^o pour la courbe $y={\frac {2x^{2}}{1+2x^{3}}}$ ?

De tous les cônes droits, à base circulaire, dont la surface convexe est la même, quel est celui qui a le plus grand volume ?

De tous les cylindres droits, à base circulaire, qui ont le mê-

$px^{n}-q=0\,;$ car, puisqu’elles admettent toujours une racine positive, la valeur de leur dernier terme $q$ n’est susceptible ni de maximum ni de minimum.