![{\displaystyle z-{\sqrt {z^{2}-{\frac {1}{k^{2}}}}}={\frac {e^{-p\omega }}{c''k^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3796a613d27afcfa5e3b241747af7342bcfeb5d)
Par conséquent en ajoutant ces deux dernières égalités, puis remplaçant
par
et prenant la valeur de
on a l’équation de la courbe
![{\displaystyle r={\frac {2}{c''e^{p\omega }+{\frac {1}{c''k^{2}}}e^{-p\omega }}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0202cec0b4fe46aa988d4a71e18f5386d3f26642)
et l’on doit observer que l’hypothèse
nous ramène à la spirale logarithmique. Cette supposition exclue, on voit qu’aucune valeur de
ne peut rendre
infini ; mais comme la différentielle du dénominateur, savoir :
![{\displaystyle \left(c''e^{p\omega }-{\frac {p}{c''k^{2}}}e^{-p\omega }\right)\operatorname {d} \omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2582e37897854d5a0ce9ff967267c22b54be49cf)
est égale à zéro pour la valeur de
donnée par l’équation
![{\displaystyle e^{2p\omega }={\frac {1}{c''^{2}k^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88deb2db9c4b47c8a359130d2a1e377fa075415a)
il en résulte qu’il y a un maximum de
pour le même angle
Si l’on tire le rayon vecteur correspondant que nous appelérons
on pourra le prendre pour l’axe à partir duquel se comptent les
Il suffit, pour exprimer cette condition, de faire
dans la dernière équation. Cela donne
et l’on obtient, pour l’équation de la courbe,
![{\displaystyle r={\frac {2k}{e^{p\omega }+e^{-p\omega }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ebdcc63c0084d5cae5b1273e04504de12ea2668)