parallèle
à
à la distance
est l’asymptote de la courbe. En effet, si l’on prend un point
sur cette courbe, et qu’on mène la normale
à
le pied, de la normale s’approchera indéfiniment du point
qui en est la limite et pour lequel
et
deviennent infinis. En effet,
![{\displaystyle \mathrm {OP} =r\operatorname {Sin} .\omega ={\frac {2k\operatorname {Sin} .\omega }{e^{p\omega }-e^{-p\omega }}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99dba55b78261ff342c3bfdc064cbab02a43f07e)
or, en développant en séries les sinus et les exponentiels, et prenant
très-petit, la valeur de
se réduit à
![{\displaystyle \mathrm {OP} ={\frac {k\left(1+{\frac {\omega ^{2}}{6}}\right)}{p\left(1+{\frac {p^{2}\omega ^{2}}{6}}\right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61ce6601b42c3abddad4c6a0ca74ae3284b99f56)
Or, cette valeur est inférieure à
mais elle s’en approche indéfiniment à mesure que
tend vers zéro ; de sorte que, quand
est rigoureusement nul,
ne diffère plus de ![{\displaystyle \mathrm {OG.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc0f6948ec3b8f67462b0c151ca3119d12aea044)
Ainsi la droite
est bien une asymptote de la courbe, et dans ce cas, comme dans le premier, il est curieux de comparer les trajectoires qui diffèrent par la valeur de
mais dont l’asymptote est la même. On posera pour cela
égale à une constante
d’où
et l’on aura la valeur suivante de r
![{\displaystyle r={\frac {2bp}{e^{p\omega }-e^{-p\omega }}}={\frac {b}{\omega \left(1+{\frac {p^{2}\omega ^{2}}{6}}+\ldots \right)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d86be013b4520d099cfac4761bf36182594660a8)
ce qui redonne l’équation
de la spirale hyperbolique quand