on fait
quel que soit
, une valeur finie
Donc le temps nécessaire pour parvenir au centre, d’un point quelconque de la trajectoire, en parcourant un arc infini, est limité et proportionnel au rayon vecteur du point de départ.
xiv. Troisième cas. Lorsque
devient plus grand que
et que pourtant il reste au-dessous de
la valeur de
savoir :
![{\displaystyle c'={\frac {v_{0}^{2}r_{0}^{2}-\mu }{r_{0}^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/795ce934bf13bf58296f84d8a17d61519c257571)
est positive, tandis que celle de
est négative.
En mettant alors la valeurs de
sous la forme
![{\displaystyle \operatorname {d} \omega ={\frac {c}{\sqrt {\mu -c^{2}}}}.{\frac {\operatorname {d} z}{\sqrt {z^{2}+{\frac {c'}{\mu -c^{2}}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66ce6f9ed522330f0594fb062c4378a4374f8983)
et posant
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {\mu -c^{2}}}{c}}=p,\qquad {\frac {\mu -c^{2}}{c'}}=k^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/832c8d8eecfe7f40d1f98dfa5db39a07b87dd4a7)
on aura
![{\displaystyle p\operatorname {d} \omega ={\frac {\operatorname {d} z}{\sqrt {z^{2}+{\frac {1}{k^{2}}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/051c52e2012653cd2c5227917d7fc56af5f22b71)
Intégrant et nommant
la constante arbitraire, il viendra
![{\displaystyle p\omega +\operatorname {l} c''=\operatorname {l} \left(z+{\sqrt {z^{2}+{\frac {1}{k^{2}}}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92ae591ef1be8dce367fc3f91701d28dcdb38543)
En désignant par
la base des logarithmes népériens et passant des logarithmes aux exponentiels, on trouve