xi. Au reste, la courbe représentée par l’équation
![{\displaystyle r={\frac {k}{\operatorname {Cos} .p\omega '}}=kS{\acute {e}}.p\omega ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/287dd5982ae9d054a56af7608d9e6b04eb988047)
peut être algébrique ou transcendante, en coordonnées rectangulaires. Elle sera évidemment algébrique si
est une fraction rationnelle. Soit, par exemple,
donc
![{\displaystyle r={\frac {k}{\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}\omega '}}={\frac {k{\sqrt {2}}}{\sqrt {1+\operatorname {Cos} .\omega '}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beb1256a984af20ed06caf22205194c847040e3e)
On passe des coordonnées polaires
aux coordonnées rectangulaires qui ont la même origine, et où
est l’axe des
, en posant
![{\displaystyle x=r\operatorname {Cos} .\omega ',\qquad y=r\operatorname {Sin} .\omega '\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca1a44c3a9b1b6721c38a1f25c2062761d49905b)
ce qui donne, pour l’équation transformée,
![{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {k{\sqrt {2}}}{\sqrt {1+{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeda3d35c200be8bb895039213119a3a6773bf3d)
d’où il est aisé de déduire
![{\displaystyle y^{4}+\left(x^{2}-4k^{2}\right)y^{2}=4k^{2}\left(x^{2}-k^{2}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e604781ff143acf7aae71333ba0225b506c38da2)
équation du quatrième degré mais facile à construire, parce qu’elle est résoluble comme équation du second degré, soit par rapport à
, soit par rapport à
.
La valeur de
est
![{\displaystyle y=\pm {\sqrt {{\frac {4k^{2}-x^{2}}{2}}\pm {\frac {x}{2}}{\sqrt {x^{2}+8k^{2}}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6ecd7e017fba1352469edc1d0412060145ffad5)