au moyen de la valeur
de
qui répond à
Il suffit de faire, à la fois,
dans l’intégrale en
rqui est l’équation polaire de la trajectoire.
viii. Passons à l’hypothèse beaucoup plus compliquée
) c’est-à-dire, supposons la force centrale en raison inverse du cube des distances et ayant pour expression
L’équation (3) devient alors
![{\displaystyle \operatorname {d} \omega =-{\frac {c\operatorname {d} z}{\sqrt {\left(\mu -c^{2}\right)z^{2}+c'}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c974de79e48ffaaf31fa2c71f18552e0bedebe98)
Mais, comme on peut prendre le radical avec le double
nous supposerons que
est positif. Il est clair d’ailleurs qu’on peut, à volonté, changer le signe de
en comptant les angles
à partir du prolongement de la droite de laquelle on les comptait d’abord. En conséquence l’équation qu’il s’agira d’intégrer sera
![{\displaystyle \operatorname {d} \omega ={\frac {c\operatorname {d} z}{\sqrt {\left(\mu -c^{2}\right)z^{2}+c'}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdd13335d8cf0b93839801e134e42c9d3b006a9c)
et on trouvera que les équations (4) donnent
![{\displaystyle c=v_{0}r_{0}\operatorname {Sin} .\theta ,\qquad c'=v_{0}^{2}-{\frac {\mu }{r_{0}^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41e5aac4153ce1655a72d6d2b48ca7c606388cf9)
Telles sont les bases de la discussion détaillée dans laquelle nous allons entrer sur les cinq cas que le problème peut offrir.
ix. Premier cas. Tant que
est plus petit que
ce qui le rend,à fortiori, plus petit que
le coefficient de
, savoir
est négatif, mais la valeur de
est positive, puisqu’elle peut se mettre sous la forme
Alors on a