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au moyen de la valeur $\omega _{0}$ de $\omega ,$ qui répond à $r=r_{0}.$ Il suffit de faire, à la fois, $\omega =\omega _{0},\ r=r_{0},$ dans l’intégrale en $\omega ,r,$ rqui est l’équation polaire de la trajectoire.

viii. Passons à l’hypothèse beaucoup plus compliquée $n=3$) c’est-à-dire, supposons la force centrale en raison inverse du cube des distances et ayant pour expression ${\frac {\mu }{r^{3}}}.$ L’équation (3) devient alors

$\operatorname {d} \omega =-{\frac {c\operatorname {d} z}{\sqrt {\left(\mu -c^{2}\right)z^{2}+c'}}}.$

Mais, comme on peut prendre le radical avec le double $signe\pm ,$ nous supposerons que $\operatorname {d} \omega$ est positif. Il est clair d’ailleurs qu’on peut, à volonté, changer le signe de $\operatorname {d} \omega ,$ en comptant les angles $\omega$ à partir du prolongement de la droite de laquelle on les comptait d’abord. En conséquence l’équation qu’il s’agira d’intégrer sera

$\operatorname {d} \omega ={\frac {c\operatorname {d} z}{\sqrt {\left(\mu -c^{2}\right)z^{2}+c'}}}.$

et on trouvera que les équations (4) donnent

$c=v_{0}r_{0}\operatorname {Sin} .\theta ,\qquad c'=v_{0}^{2}-{\frac {\mu }{r_{0}^{2}}}.$

Telles sont les bases de la discussion détaillée dans laquelle nous allons entrer sur les cinq cas que le problème peut offrir.

ix. Premier cas. Tant que $\mu$ est plus petit que $c^{2}=v_{0}^{2}r_{0}^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\theta ,$ ce qui le rend,à fortiori, plus petit que $v_{0}^{2}r_{0}^{2},$ le coefficient de $z^{2}$, savoir $\mu -c^{2}$ est négatif, mais la valeur de $c'$ est positive, puisqu’elle peut se mettre sous la forme ${\frac {v_{0}^{2}r_{0}^{2}-\mu }{r_{0}^{2}}}.$ Alors on a