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en coordonnées polaires, et il serait aisé de reconnaître l’équation d’une section conique ayant un centre coïncidant avec le point $\mathrm {O.}$ Mais on peut également trouver une relation entre les coordonnées $x,y$., rapportées à deux axes rectangulaires, ayant leur origine au point fixe. On disposera pour cela l’axe des $x$ de manière qu’on ait

$x=r\operatorname {Cos} .(\omega -c''),\qquad y=r\operatorname {Sin} .(\omega -c'')\,;$

c’est-à-dire qu’on dirigera la droite $\mathrm {OX}$ de telle sorte qu’elle fasse avec celle d’où partent les arcs $\omega$ un angle $c''.$ Cela admis, on aura

$z^{2}={\frac {1}{r^{2}}}={\frac {1}{x^{2}+y^{2}}},$

$\operatorname {Sin} .2(\omega -c'')=2\operatorname {Sin} .2(\omega -c'')\operatorname {Cos} .(\omega -c'')={\frac {2xy}{x^{2}+y^{2}}}$

et, par conséquent, l’équation de la courbe sera

${\frac {c'}{2c^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right)-2xy{\sqrt {{\frac {c'^{2}}{4c^{4}}}-{\frac {\mu }{c^{2}}}}}=1.$

Elle représente évidemment une section conique rapportée à son centre ; savoir : une ellipse quand $\mu$ est positif, c’est-à-dire, quand la force centrale est attractive, et une hyperbole quand $\mu$ est négatif et la force centrale répulsive. La courbe a son centre à l’origine parce que $x$ et $y$ n’entrent pas au premier degré dans l’équation. À cause de l’égalité des coefficiens de $x^{2}$ et $y^{2}$ elle est rapportée à deux axes placés symétriquement de part et d’autre de l’axe principal, et formant avec celui-ci des angles égaux à la moitié d’un droit. Quand $\mu ={\frac {c'^{2}}{4c}}$ le terme en $xy$ disparaît, et l’ellipse devient un cercle dont le rayon est ${\frac {c{\sqrt {2}}}{\sqrt {c'}}}.$ Dans tous les cas, les équations (4), en y faisant $n=-1,$ déterminant $c$ et $c'$ par les conditions initiales du mouvement, et la constante $c''$ se calcule