un foyer. Nous venons de prouver que la courbe est une section conique. Si les planètes décrivent des ellipses, c’est que la condition
est satisfaite pour elles. Mais rien ne prouve qu’il n’y ait pas des comètes décrivant des paraboles ou des hyperboles.
Reste à prouver que
3.o Les quarrés des temps des révolutions des planètes autour du soleil sont comme les cubes des grands axes de leurs orbites.
Pour cela nommons
le temps employé à faire une révolution complète, et
l’aire totale de l’ellipse. L’aire parcourue dans le temps
sera donc
et, comme on l’a représentée ailleurs par
il résulte de ce rapprochement
Pour calculer
il faul connaître les demi-axes
et
de l’ellipse. Il faut donc recourir à l’équation
![{\displaystyle r={\frac {c^{2}}{\mu }}-x{\sqrt {1+{\frac {c^{2}c'}{\mu ^{2}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a3e8b7e3ae32c08d15cc88e05bdfd37fdad999e)
où
est négatif à cause de
et de la condition
nécessaire dans l’ellipse. Mais on sait, d’autre part, que le rayon vecteur, en fonction de l’abscisse
ou
comptée du centre, est
![{\displaystyle r=a-{\frac {x'{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{a}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/086233942ec36b4c2d3409d4bbae5a5cbcb26781)
donc
![{\displaystyle r=a-{\frac {a^{2}-b^{2}}{a}}-{\frac {x{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bad5d8f9e1f3a4727d184b940b25e017edff9ad)
ce qui revient à