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1.^o $N$ est négatif et la courbe hyperbolique soit quand on a $\mu <0,$ ce qui répond à une force centrale répulsive, soit quand $\mu$ est positif, mais plus petit que ${\frac {v_{0}^{2}r_{0}}{2}}.$ Il faut donc que le rapport ${\frac {\mu }{r_{0}^{2}}},$ qui est la valeur initiale de la force centrale, soit plus petit que la moitié du quotient ${\frac {v_{0}^{2}}{r_{0}}},$ quotient qui exprime la forte centrifuge produite par la vîtesse $v_{0}$ sur un cercle dont le rayon est égal à $r_{0}$ ;

2.^o $N$ est zéro, et la courbe parabolique, lorsque ${\frac {\mu }{r_{0}^{2}}}={\frac {v_{0}^{2}}{2r_{0}}}\,;$ la valeur initiale de la force centrale est alors exactement moitié de la force centrifuge dont nous venons de parler, et l’action du point fixe est essentiellement attractive ;

3.^o Enfin $N$ est positif, et la courbe elliptique, quand la force centrifuge ${\frac {v_{0}^{2}}{2r_{0}}}$ est à son tour au-dessous de ${\frac {\mu }{r_{0}^{2}}}.$ Quant à l’angle $\theta ,$ il ne fait rien au genre de la courbe et n’influe que sur ses dimensions.

Ainsi, en résumé, on a trois cas divers. La courbe est

Infinie, avec des asymptotes, quand $v_{0}^{2}>{\frac {2\mu }{r_{0}}},$

Infinie, sans asymptotes, quand $v_{0}^{2}={\frac {2\mu }{r_{0}}},$

Finie et limitée, quand $v_{0}^{2}<{\frac {2\mu }{r_{0}}}.$

v. Nous avons déjà retrouvé deux des lois de Képler, savoir :

1.^o Les planètes se meuvent dans des courbes planes, et leurs rayons vecteurs décrivent, autour du soleil, des aires proportionnelles aux temps. Cette loi résulte de l’équation, $r^{2}\operatorname {d} u=c\operatorname {d} t.$

2.^o Les orbites planétaires sont des ellipses dont le soleil occupe