![{\displaystyle {\begin{array}{lc}&c_{0}=v_{0}r_{0}\operatorname {Sin} .\theta ,\\\\&c'=v_{0}^{2}-{\frac {2\mu }{(n-1)r_{0}^{n-1}}}.\end{array}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a15eb3f3027f25bb118992f55159f999585fb94)
(4)
L’intégration qu’on doit effectuer pour avoir
n’est pas possible en général. Nous nous contenterons d’examiner les trois cas très-distincts ![{\displaystyle n=2,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4014eb4f6564eccaacc683fc9ff882da482c5268)
dont le premier est celui de la nature.
vi. En posant
l’équation (3) devient
![{\displaystyle \operatorname {d} \omega =-{\frac {c\operatorname {d} z}{\sqrt {2\mu z-c^{2}z^{2}+c'}}}=-{\frac {c\operatorname {d} z}{\sqrt {{\frac {\mu ^{2}}{c^{2}}}+c'-\left(cz-{\frac {\mu }{c}}\right)^{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac6a93e7d52089b6757c9b47d6681ade49f2249b)
on en tire
![{\displaystyle \omega =\operatorname {Arc.Cos} .={\frac {cz-{\frac {\mu }{c}}}{\sqrt {c'+{\frac {\mu ^{2}}{c^{2}}}}}}+c''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07f3395ce65820e687a9e47921f0ab2862c98e14)
On peut, sans nuire à la généralité de cette équation, annuler
, car cela revient à choisir d’une manière convenable la direction de la droite fixe
Il viendra alors
![{\displaystyle r={\frac {1}{z}}={\frac {c}{{\frac {\mu }{c}}+{\sqrt {c'+{\frac {\mu ^{2}}{c^{2}}}}}.\operatorname {Cos} .\omega }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94cfc45b75cef4e6b8331ba4925f966e8c000c50)
équation d’une section conique quelconque, dont le foyer est au point fixe
d’attraction. Cette équation est en coordonnées polaires ; mais on ramènera les coordonnées rectangulaires
et
, si l’on fait ![{\displaystyle x=r\operatorname {Cos} .\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/665af318eadf08c7c47faad3195a0dd370b48479)
D’abord,
étant égal à
on a