par quotient d’une demi-unité. Mais il ne paraît pas qu’il ait été remarqué jusqu’ici que cet excès n’est pas même d’un huitième d’unité ; et voici à peu près comment M. Lenthéric démontre cette proposition.
Soient
et
les deux nombres dont il s’agit, et soit
Par hypothèse, le nombre des chiffres de
est moindre que la moitié du nombre des chiffres de
or, comme le quarré d’un nombre a au plus le double du nombre de ses chiffres, il s’ensuit que
n’aura pas autant de chiffres que
de sorte qu’on aura
![{\displaystyle (a-b)^{2}<b.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9427a78574ff8a6a310be05c6c209889192239a9)
(1)
Cela posé, à cause de
on a
d’où
d’où, en quarrant, divisant par
et renversant
![{\displaystyle b<\left({\frac {{\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}}{2}}\right)^{2}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f82a0cba34974e0e78293dfd2a3cf727b22e2fc)
(2)
donc, en comparant (1) à (2),
![{\displaystyle (a-b)^{2}<\left({\frac {{\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}}{2}}\right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/803b1e9fc15fe2e767ca6f4e6d57edc3b42ccf09)
et par suite
![{\displaystyle a-b<{\frac {{\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbce803c8a48e5174395ba4558562a7d7ce14301)
ou encore
![{\displaystyle \left({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}\right)\left({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}\right)<{\frac {{\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/502f9d7fd922de73b9efe875ebb44da2864ee133)
2ce qui donne, en simplifiant,
![{\displaystyle {\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}<{\frac {1}{2}},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6677395e16235a64e027074dc7922c348a571eb)
(3)
puis en quarrant