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précisément la valeur qu’on obtiendra pour cette inconnue. Si ces coefficiens sont des fonctions quelconques d’une autre inconnue $y,$ l’équation de relation entre eux sera ce qu’on appelle, dans la théorie de l’élimination, l’équation finale en $y,$ et alors la valeur de $x$ sera exprimée en fonction de cette dernière inconnue. On pourrait d’ailleurs supposer que ces coefficiens sont fonctions d’un plus grand nombre de variables.

Ces choses ainsi entendues, soit prise, tour à tour, la somme des produits respectifs de ces deux équations, d’abord par $-B_{0}$ et $+A_{0},$ puis par $+B_{m}$ et $-A_{m}$^[1], et divisant la dernière des deux équations résultantes par $x$, et posant, pour abréger,

${\begin{alignedat}{2}A_{0}B_{1}-A_{1}B_{0}=&C_{1},&\qquad A_{m-1}B_{m}-A_{m}B_{m-1}=&C_{2m-1},\\A_{0}B_{2}-A_{2}B_{0}=&C_{2},&\qquad A_{m-2}B_{m}-A_{m}B_{m-2}=&C_{2m-2},\\A_{0}B_{3}-A_{3}B_{0}=&C_{3},&\qquad A_{m-3}B_{m}-A_{m}B_{m-3}=&C_{2m-3},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,&\qquad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\\A_{0}B_{m-1}-A_{m-1}B_{0}=&C_{m-1},&\qquad A_{1}B_{m}-A_{m}B_{1}=&C_{m+1},\end{alignedat}}$

$A_{0}B_{m}-A_{m}B_{0}=C_{m},$

on aura

$C_{1}x^{m-1}+C_{2}x^{m-2}+C_{3}x^{m-3}+\ldots +C_{m-2}x^{2}+C_{m-1}x+C_{m}=0,$

$C_{m}x^{m-1}+C_{m+1}x^{m-2}+C_{m+2}x^{m-3}+\ldots +C_{2m-3}x^{2}+C_{2m-2}x+C_{2m-1}=0\,;$

1. Si les coefficiens $A_{0}$ et $B_{0}$ ou les coefficiens $A_{m}$ et $B_{m},$ ou les uns et les autres avaient un diviseur commun, il suffirait de multiplier par les quotiens obtenus en les divisant par ce diviseur ; le calcul s’en trouverait d’autant simplifié.