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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

La formule (51) prouve d’ailleurs que, aux points d’inflexion de la courbe (1), pour lesquels les équations (13) sont toutes trois satisfaites, le rayon de courbure devient infini ; de sorte qu’alors le cercle osculateur se confond avec la tangente. On voit aussi que la formule (51) est en défaut pour tous les points où les deux coefficiens différentiels ${\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}$ et ${\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}$ sont nuls ; et on ne doit pas en être surpris, puisqu’alors il peut passer par le point $(x',y')$ au moins deux branches de la courbe, dont chacune doit avoir son rayon de courbure. Ce rayon, doit donc alors être donné par une équation d’un degré supérieur au premier, équation que l’on obtiendrait facilement par l’application des principes qui nous ont constamment dirigés dans tout ce qui précède, mais à la poursuite de laquelle nous ne nous arrêterons pas.

En éliminant $x'$ et $y'$ entre l’équation (2) et les équations (50) du centre de courbure du point $(x',y'),$ l’équation résultante en $x$ et $y$ sera celle du lieu des centres de courbure de tous les points de la courbe (1), c’est-à-dire, l’équation de la développée de cette courbe. Au surplus, il revient au même et il est plus simple de dire que l’équation de la développée de la courbe (1) est le résultat de l’élimination de $x'$ et $y'$ entre l’équation (2) et la double équation

${\frac {\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}{x-x'}}={\frac {\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}{y-y'}}$

$=-{\frac {\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}\right)^{2}{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'^{2}}}-2{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}+\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}\right)^{2}{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'^{2}}}}{\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}\right)^{2}}}.$ (61)

Veut-on savoir enfin quels sont les points de courbe (1) pour lesquels la courbure de cette courbe est maximum ou minimum, La question se réduira à rendre l’un ou l’autre la fonction $r$ des deux variables $x'$ et $y',$ liées entre elles par la relation (2) ; il faudra donc, suivant ce qui a été expliqué (tom. xx, pag. 337)