Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1830-1831, Tome 21.djvu/263

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$y^{3}-pty^{2}+2p(t\beta -\alpha +p)y-2p^{2}(\beta +t\alpha )=0.$

On voit par là que, généralement parlant, on peut, d’un même point $(\alpha ,\beta )$ du plan de la parabole, mener à cette courbe trois obliques qui remplissent les conditions prescrites. Mais, si ce point est un des points de la développée oblique demandée, deux de ces obliques se confondront en une seule ; de sorte que l’équation ci-dessus devra avoir deux racines égales. Or, on sait que, pour qu’une équation du troisième degré, telle que

$ay^{3}+by^{2}+cy+d=0,$

ait deux racines égales, il faut qu’on ait

$4\left(b^{2}-3ac\right)\left(c^{2}-3bd\right)-(bc-gad)^{2}=0\,;$

appliquant donc cette condition à la formule ci-dessus, il viendra

$4\left\{p^{2}t^{2}-6(t\beta -\alpha +p)\right\}\left\{4p^{2}(t\beta -\alpha +p)^{2}-6p^{3}t(\beta +t\alpha )\right\}$

$-\left\{-6p^{2}t(t\beta -\alpha +p)+18p^{2}(\beta +t\alpha )\right\}^{2}=0\,;$

ou bien, en réduisant,

$2\left\{pt^{2}-6(t\beta -\alpha +p)\right\}\left\{2(t\beta -\alpha +p)^{2}-3pt(\beta +t\alpha )\right\}$

$+p\left\{t(t\beta -\alpha +p)-9(\beta +t\alpha )\right\}^{2}=0.$

Telle esl donc la relation qui doit exister entre $\alpha$ et $\beta ,$ pour le point $(\alpha ,\beta )$ soit un des points de la développée oblique demandée ; c’est donc là l’équation même de cette développée, en y considérant $\alpha$ et $\beta$ comme des coordonnées courantes.

Si l’on veut déduire de là l’équation de la développée orthogonale de la parabole proposée, il suffira de supposer $t=0$, ce qui donnera, en changeant respectivement $\alpha$ et $\beta$ en $x$ et $y$,