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$2\alpha xy-\beta (x^{2}-y^{2})=r^{2}y,$

est celle d’une courbe qui coupe le cercle donne aux points d’incidence de tous les rayons qui, après leur réflexion à la rencontre de ce cercle, vont concourir au point $(\alpha ,\beta ).$

Les équations des tangentes à ces deux courbes, par le point $(x',y'),$ sont

$x'x+y'y=r^{2},$

$2(\alpha y'-\beta x')x+(2\alpha x'+2\beta y'-r^{2})y=r^{2}y'.$

Pour exprimer que ces deux droites se confondent en une seule, il faudra écrire

$x'={\frac {2(\alpha y'-\beta x')}{y'}},\qquad y'={\frac {2\alpha x'+2\beta y'-r^{2}}{y'}}\,;$

équations qui donneront $\alpha$ et $\beta$ par $x'$ et $y',$ et réciproquement.

En les résolvant par rapport à $\alpha$ et $\beta ,$ on trouve

$\alpha ={\frac {2x'y'^{2}+r^{2}x'}{2r^{2}}},$

$\beta ={\frac {r^{2}y'-y'\left(x'^{2}-y'^{2}\right)}{2r^{2}}}={\frac {y'\left(r^{2}-x'^{2}\right)+y'^{3}}{2r^{2}}}={\frac {2y'^{3}}{2r^{2}}}={\frac {y'^{3}}{r^{2}}}$

il en résulte, en faisant usage de la relation (2),

$\alpha ^{2}+\beta ^{2}={\frac {4y'^{4}(x'^{2}+y'^{2})+4r^{2}x'^{2}y'^{2}+r^{4}x'^{2}}{4r^{4}}}={\frac {4y'^{2}(x'^{2}+y'^{2})+r^{2}x'^{2}}{4r^{2}}},$

ou encore

$\alpha ^{2}+\beta ^{2}={\frac {4y'^{2}+x'^{2}}{4}}={\frac {3y'^{2}+r^{2}}{4}}\,;$

donc