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offrir de difficulté, d’après ce que nous ayons déjà dit (pag. 9), sur les tangentes aux courbes planes, nous ne nous y arrêterons pas.

D’après l’équation (52), la normale à la surface $S=0$ au point $(x',y',z')$ de cette surface, c’est-à-dire, la perpendiculaire à son plan tangent en ce point, aura pour sa double équation

${\frac {(x-x')}{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}}={\frac {(y-y')}{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}}={\frac {(z-z')}{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} z'}}},\qquad$(53)

et rien, d’après cela, ne sera plus facile que d’obtenir les équations de la normale à une surface proposée, en un point donné sur cette surface.

Si le point $(x',y',z')$ n’est pas donné, cette équation (53), en y mettant pour $x',y',z'$, tous les systèmes de valeur compatibles avec la relation $S'=0,$ pourra indistinctement exprimer toutes les normales à la surface proposées. On pourra donc alors profiter de l’indétermination de $x',y',z',$ pour assujétir la normale à une condition donnée. Comme cela ne saurait offrir de difficulté, d’après ce que nous avons déjà dit (pag. 12) sur les normales aux courbes planes, nous ne nous y arrêterons pas.

viii. D’après ce qui vient d’être dit, si, pour abréger, on représente par $\Omega$ le second membre de l’équation (4) et par $\Omega '$ ce que devient ce second membre, lorsque $t,u,v$ se changent respectivement en $t',u',v'$, l’équation du plan tangent à la surface (4), en un quelconque $(t',u',v')$ de ses points, sera

${\frac {\operatorname {d} \Omega '}{\operatorname {d} t'}}(t-t')+{\frac {\operatorname {d} \Omega '}{\operatorname {d} u'}}(u-u')+{\frac {\operatorname {d} \Omega '}{\operatorname {d} v'}}(v-v')=0,$

ou bien encore