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exprimant que le diamètre (12) est un diamètre principal, $\operatorname {Cos} .\alpha ,\operatorname {Cos} .\beta ,\operatorname {Cos} .\gamma$ demeurent indéterminés, et que conséquemment il en soit de même de leurs rapports deux à deux ; il faudra donc que, dans les équations (31) et (32), on ait

${\begin{array}{lr}\left(B^{2}F-2BCG+C^{2}E\right)r^{2}=\left(B^{2}+C^{2}\right)L,&(37)\\\left(C^{2}D-2CAH+A^{2}F\right)r^{2}=\left(C^{2}+A^{2}\right)L,&(38)\\\left\{C^{2}K-C(AG+BH)+ABF\right\}r^{2}=ABL.&\end{array}}$

En prenant la somme des produits respectifs de ces trois équations par $A^{2},B^{2}$ et $-2AB$ on obtient, en réduisant et divisant par $C^{2},$

$\left(A^{2}E-2ABK+B^{2}G\right)r^{2}=\left(A^{2}+B^{2}\right)L\,;\qquad$(39)

équation qui peut conséquemment remplacer la dernière. Les équations (37), (38), (39) donneront la valeur du quarré du rayon du cercle, sous trois formes différentes ; et, en égalant entre elles les trois expressions obtenues, on obtiendra, pour la double condition exprimant que la courbe donnée par les équations (10) et (11) est un cercle,

${\frac {\left(B^{2}F-2BCG+C^{2}E\right)}{B^{2}+C^{2}}}={\frac {\left(C^{2}D-2CAH+A^{2}F\right)}{C^{2}+A^{2}}}$

$={\frac {\left(A^{2}E-2ABK+B^{2}G\right)}{A^{2}+B^{2}}}.\qquad$(40)

vi. Pour appliquer présentement ces divers résultats au point de contact d’une surface courbe avec son plan tangent, il ne s’agit que de faire coïncider respectivement les deux équations (10) et (11) avec les deux équations (6) et (9), ce qui se réduit simplement à poser, en supprimant les accens,