et exprimera les distances de l’origine aux différens points où la droite (7) perce la surface (4). Cette équation est d’abord satisfaite en posant
, comme on pouvait bien le prévoir, puisque la droite (7) passe par l’origine des
, qui est un point de cette surface. Les autres points communs à la droite (7) et à la surface (4) seront donnés par l’équation
![{\displaystyle 0=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}\operatorname {Cos} .\alpha \\\\+&{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}\operatorname {Cos} .\beta \\\\+&{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} z'}}\operatorname {Cos} .\gamma \end{aligned}}\right\}+{\frac {1}{2}}\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'^{2}}}\operatorname {Cos} .^{2}\alpha +2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'\operatorname {d} z'}}\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma \\\\+&{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'^{2}}}\operatorname {Cos} .^{2}\beta +2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} z'\operatorname {d} x'}}\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\alpha \\\\+&{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} z'^{2}}}\operatorname {Cos} .^{2}\gamma +2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \end{aligned}}\right\}r+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea7e55f5a0379f0ede43d5a1b0611b53a50d18a1)
Si donc on suppose les angles
indéterminés, et qu’on veuille profiter de leur indétermination pour faire en sorte qu’un second point commun vienne se confondre avec le premier, à l’origine des
, c’est-à-dire, au point
ilfaudra que le second membre de cette dernière équation devienne de nouveau divisible par
ce qui exigera qu’on ait
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}\operatorname {Cos} .\alpha +{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}\operatorname {Cos} .\beta +{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} z'}}\operatorname {Cos} .\gamma =0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81efea1fa2e1374a03214ac1f2c2ddd62f5a5e0d)
(8)
alors la droite (7) sera dite tangente à la surface (4), à l’origine des
, c’est-à-dire, au point
dit le point de contact avec elle ; et comme, outre l’équation (8), les trois constantes
ne sont liées entre elles que par la seule équation
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .^{2}\alpha +\operatorname {Cos} .^{2}\beta +\operatorname {Cos} .^{2}\gamma =1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbf1a091cccdbc0880fc325de6b1f35867fddf1d)
il s’ensuit qu’elles demeurent encore indéterminées ; ce qui revient à dire que, par un même point quelconque d’une surface courbe,