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II. Si l’on veut ne considérer que ce qui se passe dans une portion de la surface (4) s’étendant très-peu autour de la nouvelle origine, c’est-à-dire, autour du point $(x',y',z')$ de la surface (1) ; comme, pour tous les points de cette portion, $t,u,v$ seront de fort petites quantités, on pourra, sans erreur sensible, négliger, dans l’équation (4), tous les termes de plus d’une dimension par rapport à ces variables. Plus donc cette portion sera petite et plus aussi elle tendra à avoir pour équation

${\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}t+{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}u+{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}v=0\,;\qquad$(6)

de sorte que cette équation représentera rigoureusement la portion de surface dont il s’agit, lorsque cette portion se réduira à l’origine des $t,u,v$, c’est-à-dire, au point $(x',y',z').$ On peut donc dire que l’équation (6) est celle d’un plan qui, en ce point, a exactement même direction que la surface (1). Un tel plan est dit tangent à cette surface, au point $(x',y',z')$ qui est dit le point de contact avec elle.

iii. Par l’origine des $t,u,v,$ soit conduite arbitrairement une droite, exprimée par la triple équation

${\frac {t}{\operatorname {Cos} .\alpha }}={\frac {u}{\operatorname {Cos} .\beta }}={\frac {v}{\operatorname {Cos} .\gamma }}=r\,;\qquad$(7)

en tirant de là les valeurs de $t,u,v,$ pour les substituer dans l’équation (4), celle-ci deviendra

$0=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}\operatorname {Cos} .\alpha \\\\+&{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}\operatorname {Cos} .\beta \\\\+&{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} z'}}\operatorname {Cos} .\gamma \end{aligned}}\right\}r+{\frac {1}{2}}\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'^{2}}}\operatorname {Cos} .^{2}\alpha +2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'\operatorname {d} z'}}\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma \\\\+&{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'^{2}}}\operatorname {Cos} .^{2}\beta +2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} z'\operatorname {d} x'}}\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\alpha \\\\+&{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} z'^{2}}}\operatorname {Cos} .^{2}\gamma +2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \end{aligned}}\right\}r^{2}+\ldots$