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Cela posé, l’intégrale qu’on cherche à calculer est

$\int _{0}^{l}{\frac {\chi _{m}\chi _{m'}\operatorname {d} x}{\operatorname {f} (x)}},$

et non pas $\int _{0}^{l}\chi _{m}\chi _{m'}\operatorname {d} x$ comme à l’art. xvi. On élimine $\operatorname {f} _{1}(x)$ entre les deux égalités qui précèdent. Cela donne

$(m-m')\chi _{m}\chi _{m'}=\operatorname {f} (x)\left\{\chi _{m}{\frac {\operatorname {d} ^{2}\chi _{m'}}{\operatorname {d} x^{2}}}-\chi _{m'}{\frac {\operatorname {d} ^{2}\chi _{m}}{\operatorname {d} x^{2}}}\right\}.$

Divisant par $(m-m')\operatorname {f} (x),$ puis intégrant par rapport à $x$, on en déduit

$\int {\frac {\chi _{m}\chi _{m'}\operatorname {d} x}{\operatorname {f} (x)}}={\frac {1}{m-m'}}\left\{\chi _{m}{\frac {\operatorname {d} \chi _{m'}}{\operatorname {d} x}}-\chi _{m'}{\frac {\operatorname {d} \chi _{m}}{\operatorname {d} x}}\right\}+$Const.

Or, si l’on prend cette intégrale de $x=0$ à $x=l,$ le second membre sera nul, tant que $m-m'$ ne sera pas zéro. Cela résulte de ce qu’à ces limites les quantités $\chi _{m}$ et $\chi _{m'}$ sont nulles elles-même, ce qu’on vérifie aisément en observant qu’on a les équations

$\psi (l,m)=0,\qquad \psi (0,m)=0.$

Ainsi donc $\int _{0}^{l}\chi _{m}\chi _{m'}\operatorname {d} x=0,$ tant que les racines $m,m'$ différent entre elles. Mais, si $m=m',$ le second membre se réduit à une valeur finie, déterminable par les règles ordinaires, puisqu’il prend la forme ${\frac {0}{0}}.$

xxvii. Revenons présentement à l’équation

$\Phi (x)=\Sigma B_{m}\psi (x,m)\,;$

J’y change $x$ en $\alpha$, ce qui est permis. Je multiplie les deux mem-