![{\displaystyle y=l'+{\frac {1}{a^{2}}}\int _{0}^{l'}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\left[\operatorname {f} (x)-m\right]x\operatorname {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71cc24fc046583abcd975c81b211eeeac4d2c54e)
![{\displaystyle +{\frac {1}{a^{4}}}\int _{0}^{l'}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\left[\operatorname {f} (x)-m\right]\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\left[\operatorname {f} (x)-m\right]x\operatorname {d} x+\ldots =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28f4337ca49e1c8e708f8a05cd7d5507f623789a)
Je construirai la courbe représentée par celle égalité, où
est l’abscisse et
l’ordonnée. Cette courbe coupera l’axe des
en un nombre infini de points, pour lesquels on aura
. C’est à ces points que répondent les valeurs que nous voulons considérer.
Or, la fonction
est donnée de
à
C’est une quantité toujours positive, dont la plus grande et la plus petite valeurs sont des nombres finis
Ainsi la quantité
croissant, à partir de zéro, finira par dépasser
À cette époque, les divers termes de la valeur de
, qui d’abord étaient tous positifs, deviendront alternativement positifs et négatifs. Il en sera de même de l’ordonnée
; et c’est ainsi que l’équation
possède un nombre infini de racines réelles. Voyons de quelle manière ces diverses quantités dépendent de
, et comment elles croissent et décroissent avec cette abscisse.
Par un choix convenable d’unités, on peut toujours faire en sorte que
et
Nous adopterons ces valeurs qui simplifient un peu les raisonnemens. Maintenant observons que
ne peut être nul, tant que
est positif. Prenons donc
et voyons ce qui résulte de cette hypothèse. Nous poserons
![{\displaystyle {\begin{aligned}&p_{0}=1,\\&p_{1}=-\int _{0}^{1}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}x\left[\operatorname {f} (x)-m\right]\operatorname {d} x,\\\\&p_{2}=+\int _{0}^{1}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\left[\operatorname {f} (x)-m\right]\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}x\left[\operatorname {f} (x)-m\right]\operatorname {d} x,\\\\&p_{3}=-\int _{0}^{1}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\left[\operatorname {f} (x)-m\right]\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\left[\operatorname {f} (x)-m\right]\operatorname {d} x\times \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \int _{0}^{x}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}x\left[\operatorname {f} (x)-m\right]\operatorname {d} x,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3c33132d2f9dec419658871db0781e5c4a85ce8)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .