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xix. Nous supposons qu’on a fait coïncider l’origine $\mathrm {O}$ avec l’extrémité $\mathrm {A}$ de la barre. La longueur $l$ sera alors nulle ; et la longueur $\mathrm {AB}$ deviendra $l'.$ L’équation indéfinie sera toujours

${\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} t}}=a^{2}{\frac {\operatorname {d} ^{2}u}{\operatorname {d} x^{2}}}-u\operatorname {f} (x).$

En posant

$u=\Sigma u_{m}e^{-mt},$

$u_{m}$ satisfera toujours à l’équation

$-mu_{m}=a^{2}{\frac {\operatorname {d} ^{2}u_{m}}{\operatorname {d} x^{2}}}-u_{m}\operatorname {f} (x).$

On représentera encore par $\varphi (x,m),\psi (x,m)$ deux intégrales particulières, en sorte que

$u_{m}=A_{m}\varphi (x,m)+B_{m}\psi (x,m)\,;$

puis on aura

$u=\Sigma e^{-mt}\left\{A_{m}\varphi (x,m)+B_{m}\psi (x,m)\right\}.$

Observons présentement que l’équation qui donne $u_{m}$ peut se mettre sous cette forme

${\frac {\operatorname {d} ^{2}u_{m}}{\operatorname {d} x^{2}}}=u_{m}.{\frac {\operatorname {f} (x)-m}{a^{2}}}\,;$

et, par les principes de l’art. xii, on pourra poser

$\varphi (x,m)=1+{\frac {1}{a^{2}}}\int _{0}^{x}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\left[\operatorname {f} (x)-m\right]\operatorname {d} x$

$+{\frac {1}{a^{4}}}\int _{0}^{x}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\left[\operatorname {f} (x)-m\right]\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\left[\operatorname {f} (x)-m\right]\operatorname {d} x+\ldots \,;$

$\psi (x,m)=x+{\frac {1}{a^{2}}}\int _{0}^{x}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}x\left[\operatorname {f} (x)-m\right]\operatorname {d} x$

$+{\frac {1}{a^{4}}}\int _{0}^{x}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\left[\operatorname {f} (x)-m\right]\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}x\left[\operatorname {f} (x)-m\right]\operatorname {d} x+\ldots .$