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qui pourtant ne subsistera qu’entre les limites $x=l$ et $x=l'.$

La fonction $\Phi (x)$ peut être discontinue. La possibilité de la développer en une série semblable à celle du second membre ne saurait être révoquée en doute ; sans cela le problème du mouvement de la chaleur, dans une barre inégalement polie, serait inaccessible à l’analyse. L’équation (d) résulte de raisonnemens rigoureux ; et il ne reste plus qu’à déterminer convenablement la valeur de $A_{m}.$ Or, sa détermination repose sur ce que la quantité $\varphi (x,m)\psi (l,m)-\psi (x,m)\varphi (l,m),$ que je représente par $V_{m},$ doit satisfaire à l’équation (b), en sorte qu’on a

$-mV_{m}=a^{2}{\frac {\operatorname {d} ^{2}V_{m}}{\operatorname {d} x^{2}}}-V_{m}\operatorname {f} (x).$

Soit, en effet, $m'$ une seconde valeur de $m$, et l’on aura également

$-m'V_{m}'=a^{2}{\frac {\operatorname {d} ^{2}V_{m}'}{\operatorname {d} x^{2}}}-V_{m}'\operatorname {f} (x).$

Éliminant donc $\operatorname {f} (x)$ entre ces deux équations, on trouvera

$(m-m')V_{m}V_{m'}=a\left(V_{m}{\frac {\operatorname {d} ^{2}V_{m'}}{\operatorname {d} x^{2}}}-V_{m'}{\frac {\operatorname {d} ^{2}V_{m}}{\operatorname {d} x^{2}}}\right)\,;$

d’où, intégrant par rapport à $x$ et divisant par $m-m',$

$\int V_{m}V_{m'}.\operatorname {d} x={\frac {a^{2}}{m-m'}}\left(V_{m}{\frac {\operatorname {d} V_{m'}}{\operatorname {d} x}}-V_{m'}{\frac {\operatorname {d} V_{m}}{\operatorname {d} x}}\right)+$Const.

Or, si l’on prend cette intégrale depuis $x=l$ jusqu’à $x=l',$ le second membre sera nul, tant que la différence $m-m'$ ne le sera pas ; ce qui résulte de ce que, à ces limites, les quantités $V_{m},V_{m}'$ sont nulles elles-mêmes. En effet, on a, pour $x=l$

${\begin{alignedat}{2}V_{m}&=\varphi (l,m)\psi (l,m)&-\psi (l,m)\ \varphi (l,m)\ &=0,\\V_{m}'&=\varphi (l,m')\psi (l,m')&-\psi (l,m')\varphi (l,m')&=0,\end{alignedat}}$

et pour $x=l',$