Elles doivent subsister pour toute valeur positive de
; d’où on conclut sans peine qu’une des valeurs de l’exposant
doit être zéro, et qu’à cet exposant répondent les deux équations
![{\displaystyle A_{0}\varphi (l,0)+B_{0}\psi (l,0)=\theta ,\qquad A_{0}\varphi (l',0)+B_{0}\psi (l',0)=\theta ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12d4d2b34dc46af20e634780703366f0bc2a8c4e)
qui donnent aisément
![{\displaystyle A_{0}={\frac {\theta \psi (l',0)-\theta '\psi (l,0)}{\varphi (l,0)\psi (l',0)-\varphi (l',0)\psi (l,0)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76f81c05b9dfcc32fb8cd918dcf0f792f121b1f8)
![{\displaystyle B_{0}={\frac {\theta '\varphi (l',0)-\theta \varphi (l,0)}{\varphi (l,0)\psi (l',0)-\varphi (l',0)\psi (l,0)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0e50998d7f37922a94fa94fc79522537798f50c)
et déterminant complètement le premier terme
de la valeur de
lequel représente le mouvement de la chaleur dans une barre parvenue à un état permanent. Toutes les autres valeurs de
sont données par les équations
![{\displaystyle A_{m}\varphi (l,m)+B_{m}\psi (l,m)=0,\qquad A_{m}\varphi (l',m)+B_{m}\psi (l',m)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec95d87c108cbf5dcab2c267440ea3a53a7333a7)
Éliminant
et
il vient :
(c)
![{\displaystyle \qquad \varphi (l,m)\psi (l',m)-\varphi (l',m)\psi (l,m)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54c1c95f815d780d77f6a684719357fabecd9911)
égalité où tout est connu, excepté
, et qui détermine (en y joignant la valeur de
) toutes les valeurs dont cette variable est susceptible. Une des quantités
est donnée de plus en fonction de l’autre. La valeur
est, par exemple,
et, si l’on substitue cette expression dans la valeur de
, on trouve
![{\displaystyle u=u_{0}+\Sigma A_{m}.{\frac {\varphi (x,m)\psi (l,m)-\psi (x,m)\varphi (l,m)}{\psi (l,m)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e05a6948f7946d879e868f50acb1f3829b8c4daf)
le temps
étant arbitraire.
xvi. Que l’on fasse à présent
deviendra
; représentant donc par
la différence
également connue, on devra satisfaire à l’égalité
(d)
![{\displaystyle \qquad \Phi (x)=\Sigma {\frac {A_{m}}{\psi (l,m)}}\left\{\varphi (x,m)\psi (l,m)-\psi (x,m)\varphi (l,m)\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e10911dbd84816eaf9893a77b524c7f1f01cb5d)