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$u$ sera exprimable en série, comme nous venons de le voir. Nous insistons sur ce point sur lequel il nous sera utiîe de nous appuyer, lorsqu’il s’agira du mouvement varié.

xiii. Reprenons la valeur de $u$ composée des deux séries

$A\left\{1+{\frac {\varepsilon }{K\omega }}\int _{0}^{x}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x\right.$

$\left.+{\frac {\varepsilon ^{2}}{K^{2}\omega ^{2}}}\int _{0}^{x}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x+\ldots \right\},$

$B\left\{x+{\frac {\varepsilon }{K\omega }}\int _{0}^{x}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}x\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x\right.$

$\left.+{\frac {\varepsilon ^{2}}{K^{2}\omega ^{2}}}\int _{0}^{x}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}x\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x+\ldots \right\}\,;$

Elle convergera d’autant plus rapidemment vers sa limite, que le rayon de la barre sera plus grand ainsi que sa conductibilité. Elle représentera exactement toutes les circonstances du mouvement linéaire permanent de la chaleur. Supposons, par exemple, que la température soit nulle à l’extrémité de la barre ou pour $x=0,$ et l’unité pour $x=l$ la constante $A$ sera nulle et la constante $B$ aura pour valeur

$B={\frac {1}{l+{\frac {\varepsilon }{K\omega }}\int _{0}^{l}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}x\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x+{\frac {\varepsilon ^{2}}{K^{2}\omega ^{2}}}\int _{0}^{l}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}x\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x+\ldots }}\,;$

d’où résulte

$u={\frac {\begin{aligned}&x+{\frac {\varepsilon }{K\omega }}\int _{0}^{x}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}x\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {\varepsilon ^{2}}{K^{2}\omega ^{2}}}\int _{0}^{x}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}x\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x+\ldots \end{aligned}}{\begin{aligned}&l+{\frac {\varepsilon }{K\omega }}\int _{0}^{l}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}x\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {\varepsilon ^{2}}{K^{2}\omega ^{2}}}\int _{0}^{l}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}x\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x+\ldots \end{aligned}}}.$

Admettons que, du point $\mathrm {A}$ au point $\mathrm {B} ,$ la fonction $\operatorname {f} (x)$ soit