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les équations (24), pour obtenir les divers systèmes de valeurs des coordonnées des deux points de contact $(x',y'),\ (x'',y'').$

S'il s’agissait des tangentes communes à deux branches d’une même courbe, il faudrait remplacer $S_{1}$ et $S_{2}$ par $S\,;$ de sorte qu’en désignant simplement par $(x,y),(x',y')$ les deux points de contact, les quatre équations à résoudre seraient

$S=0,\quad S'=0,\quad {\frac {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}}={\frac {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}}={\frac {{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}x+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}y}{{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}x'+{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}y'}}.\qquad$(26)

vi. Si l’on suppose les coordonnées rectangulaires, l’équation de la perpendiculaire menée à la tangente (17), par son point de contact, c’est-à-dire, de la normale à la courbe en ce point, sera

${\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}(x-x')-{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}(y-y')=0\,;\qquad$(27)

équation dans laquelle, comme dans celle de la tangente, les deux constantes $x',y'$ sont liées entre elles par la relation (2) ; et qui conséquemment pourra indistinctement exprimer toutes les normales à la courbe, si ces deux constantes ne sont liées l’une à l’autre par aucune autre condition.

Si donc on veut particulariser une de ces normales, il faudra établir une second relation entre les constantes $x',y'.$ On pourra donc, en particulier, assujettir la normale à toutes les conditions auxquelles nous venons tout à l’heure d’assujettir la tangente. Comme cela ne saurait oôrir de difficultés, d’après ce qui précède, nous nous bornerons ici à donner les résultats.

L’équation

${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}(x-a)-{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}(y-b)=0,\qquad$(28)