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tact de toutes les tangentes qui peuvent lui être menées parallèlement à la droite (20).

On peut encore se demander de mener une tangente commune à deux courbes données, ou à deux branches d’une même courbe. Supposons d’abord qu’il soit question de deux courbes données par les équations

$S_{1}=0,\qquad S_{2}=0\,;\qquad$(23)

soient $(x',y'),(x'',y'')$ les points de contact respectifs, sur les deux courbes, ce qui donnera d’abord

$S'_{1}=0,\qquad S'_{2}=0\,;\qquad$(24)

cette tangente commune pouvant être (17) indistinctement exprimée par l’une ou l’autre équation

${\frac {\operatorname {d} S'_{1}}{\operatorname {d} x'}}(x-x')+{\frac {\operatorname {d} S'_{1}}{\operatorname {d} y'}}(y-y')=0\,;\quad {\frac {\operatorname {d} S''_{2}}{\operatorname {d} x''}}(x-x'')+{\frac {\operatorname {d} S''_{2}}{\operatorname {d} y''}}(y-y'')=0\,;$

lesquelles reviennent à

${\frac {\operatorname {d} S'_{1}}{\operatorname {d} x'}}x+{\frac {\operatorname {d} S'_{1}}{\operatorname {d} y'}}y={\frac {\operatorname {d} S'_{1}}{\operatorname {d} x'}}x'+{\frac {\operatorname {d} S'_{1}}{\operatorname {d} y'}}y',$

${\frac {\operatorname {d} S''_{2}}{\operatorname {d} x''}}x+{\frac {\operatorname {d} S''_{2}}{\operatorname {d} y''}}y={\frac {\operatorname {d} S''_{2}}{\operatorname {d} x''}}x''+{\frac {\operatorname {d} S''_{2}}{\operatorname {d} y''}}y''\,;$

il faudra écrire que ces deux équations n’expriment qu’une seule et même droite, ce qu’on fera en posant la double équation

${\frac {\frac {\operatorname {d} S'_{1}}{\operatorname {d} x'}}{\frac {\operatorname {d} S''_{2}}{\operatorname {d} x''}}}={\frac {\frac {\operatorname {d} S'_{1}}{\operatorname {d} y'}}{\frac {\operatorname {d} S''_{2}}{\operatorname {d} y''}}}={\frac {{\frac {\operatorname {d} S'_{1}}{\operatorname {d} x'}}x'+{\frac {\operatorname {d} S'_{1}}{\operatorname {d} y'}}y'}{{\frac {\operatorname {d} S''_{2}}{\operatorname {d} x''}}x''+{\frac {\operatorname {d} S''_{2}}{\operatorname {d} y''}}y''}}\,;\qquad$(25)

telles seront donc les deux équations qu’il faudra combiner avec