![{\displaystyle \lambda ={\frac {1}{3}}\left(e^{z{\sqrt[{3}]{\alpha }}}+e^{\rho z{\sqrt[{3}]{\alpha }}}+e^{\rho ^{2}z{\sqrt[{3}]{\alpha }}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d13eb41e26497ee710c64bbd4420f31a98f12e0)
Par conséquent,
![{\displaystyle u_{\mu }={\frac {C}{3}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {\alpha }{3}}}.\alpha ^{-{\frac {2}{3}}}\left(e^{z{\sqrt[{3}]{\alpha }}}+e^{\rho z{\sqrt[{3}]{\alpha }}}+e^{\rho ^{2}z{\sqrt[{3}]{\alpha }}}\right)\operatorname {d} x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16350356cdf8a625110655aaff210c810ea39341)
viii. En différentiant deux fois de suite, par rapport à 
, la série suivante
on obtient ce résultat
En posant donc
on satisfera de nouveau à l’équation (3), dont nous avons ainsi une nouvelle intégrale particulière. Les raisonnemensde l’art. vi, étant applicables à cette intégrale, montrent en premier lieu, que la série qui en exprime le développement est toujours convergente et peut servir à en calculer la valeur avec tel degré d’approximation que l’on désirera. Une marche analogue à celle de l’art. vii donne ensuite les moyens de l’écrire sous forme finie, par le secours des quadratures définies.
Pour cela, il suffit de mettre la valeur de 
sous la forme
