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(3)$\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}u_{\mu }}{\operatorname {d} z^{2}}}=z.u_{\mu }.$

Sous cette forme, on reconnaît 1.^o que l’équation (3) rentre dans un des cas de l’équation de Riccati qui, jusqu’à présent, ont échappé à toutes les méthodes, et qui vraisemblablement ne seront jamais résolus ; 2.^o qu’il faut renoncer, par conséquent, à exprimer la valeur de $u_{\mu }$, autrement que par des séries convergentes ou par le secours de quadratures définies.

vi. L’équation (3) étant linéaire et du second ordre, il nous suffira d’en chercher deux intégrales particulières pour arriver à son intégrale complète. L’une et l’autre se déduiront du développement de $u_{\mu }$ en série, suivant les puissances croissantes de $z.$ Considérons la suite infinie

$1+{\frac {z^{3}}{2.3}}+{\frac {z^{6}}{2.3.5.6}}+{\frac {z^{9}}{2.3.5.6.8.9}}+\ldots ,$

dont la loi régulière est facile à saisir. La différentielle seconde de cette quantité est

$z\left(1+{\frac {z^{3}}{2.3}}+{\frac {z^{6}}{2.3.5.6}}+{\frac {z^{9}}{2.3.5.6.8.9}}+\ldots \right)\,;$

de sorte qu’en posant

$u_{\mu }=1+{\frac {z^{3}}{2.3}}+{\frac {z^{6}}{2.3.5.6}}+{\frac {z^{9}}{2.3.5.6.8.9}}+\ldots ,$

on satisfera à l’équation (3).

Toutefois la conclusion pourrait être inexacte, si la série dont il est question cessait d’être convergente. Nous allons faire voir que cela n’a jamais lieu quelque grand nombre que l’on substitue à la place de $z$. Soient $P,P'$ deux coefficiens con-