diverses quantités successives, que je désigne, en général, par et que l’on détermine ensuite. Chacune des exponentielles a pour coefficient une fonction de l’abscisse. L’équation qui donne la valeur de chacun de ces coefficiens est linéaire et du second ordre. Elle a la même forme que celle qui a été précédemment traitée ; les mêmes méthodes lui sont applicables ; et c’est ainsi que le mouvement varié se ramène au cas plus simple de mouvement permanent.
Toutefois il reste à déterminer les valeurs des constantes arbitraires, en nombre infini ; introduites par l’intégration de ces équations diverses, et qui dépendent de l’état initial de la barre, comme l’équation qui donne les valeurs de dépend des conditions relatives à ses extrémités. La forme de cette dernière équation rend cette détermination très-simple. Ici se présentent des calculs analogues à ceux qu’on trouve dans les ouvrages de MM. Fourier et Poisson, et la possibilité de représenter une fonction quelconque, entre des limites données, par une série dont les termes sont les intégrales d’une équation linéaire du second ordre. Déjà l’on avait développé une fonction quelconque en série de sinus et de cosinus, et en suites infinies formées de ces quantités qui se présentent dans les recherches relatives à l’attraction des sphéroïdes ; mais je ne sache pas que jusqu’ici on ait fait un semblable usage des fonctions transcendantes que notre analyse nous a fournies.
La quantité générale , qui entre comme facteur du temps, dépend d’une équation dont toutes les racines sont réelles et positives. Elles ne sont pas négatives, car alors la température croîtrait indéfiniment avec le temps, et il est clair que cela ne peut arriver ici. Si elles étaient imaginaires, les mouvemens libres de la chaleur seraient assujétis à des oscillations, ce qui est impossible sans l’action de causes périodiques extérieures. Cette démonstration directe et générale est de M. Fourier. Toutefois nous avons prouvé, par un moyen particulier, dans la question qui nous oc-
