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quotiens premiers entre eux, ce qui est impossible par ce qui précède.

22. THÉORÈME. Le plus grand diviseur commun à plusieurs nombres ne change pas lorsqu’on remplace deux quelconques d’entre eux par leur plus grand diviseur commun.

Démonstration. Soient $G,H,K,\ldots T,U,V$ des nombres donnés ; il s’agit de prouver que, si $D$ est le plus grand diviseur commun à $U$ et $V,$ et que $\delta$ soit le plus grand diviseur commun à $G,H,K,\ldots T,U,V,\ \delta$ sera aussi le plus grand diviseur commun aux nombres proposés.

Soient, en effet, $u$ et $v$ les quotiens qu’on obtient en divisant $U$ et $V$ par $D\,;$ ces quotiens seront (12) premiers entre eux, et l’on aura

$U=uD,\qquad V=vD.$

Soient, en outre, $g,h,k,\ldots t,d,$ les quotiens qu’on obtient en divisant respectivement $G,H,K,\ldots T,D,$ par $\delta$ ; ces quotiens seront également premiers entre eux, et l’on aura

$G=g\delta ,\ H=h\delta ,\ K=k\delta ,\ldots T=t\delta ,\ D=d\delta \,;$

de là on conclura

${\frac {G}{\delta }}=g,\ {\frac {H}{\delta }}=h,\ {\frac {K}{\delta }}=k\ldots {\frac {T}{\delta }}=t,\ {\frac {U}{\delta }}=ud,\ {\frac {V}{\delta }}=vd\,;$

or, aucun des facteurs premiers communs à $g,h,k,\ldots t,$ si toutefois il en existe de tels, ne pourra se trouver dans $d$, qui est premier avec l’ensemble de ces nombres ; il ne pourra davantage se trouver à la fois dans $u$ et $v$, qui sont premiers entre eux ; donc, aucun de ces facteurs premiers ne pourra se trouver à la fois dans $ud$ et $vd$ ; donc, en divisant les nombres proposés par $\delta ,$ on obtient des quotiens premiers entre eux ; donc enfin $\delta$ est (15), comme nous l’avions annoncé, le plus grand diviseur commun à tous ces nombres.

23. Si donc l’on sait seulement déterminer le plus grand diviseur commun à deux nombres proposés, on pourra toujours ré-