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point, sans la couper, et pourra être considérée comme ayant, avec la courbe, quatre points communs se confondant en un seul ; que si l’on a , en outre, pour ce point,

${\frac {\operatorname {d} ^{4}S'}{\operatorname {d} x'^{4}}}=0,\ {\frac {\operatorname {d} ^{4}S'}{\operatorname {d} x'^{3}\operatorname {d} y'}}=0,\ {\frac {\operatorname {d} ^{4}S'}{\operatorname {d} x'^{2}\operatorname {d} y'^{2}}}=0,\ {\frac {\operatorname {d} ^{4}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'^{3}}}=0,\ {\frac {\operatorname {d} ^{4}S'}{\operatorname {d} y'^{4}}}=0\,;$ (16)

la tangente touchera et coupera alors la courbé, et son point de contact pourra être considéré comme cinq points communs à l’une et à l’autre, se confondant en un seul, et ainsi de suite. La recherche de ces points s’exécutera d’ailleurs comme celle des simples points d’inflexion ; mais la chance d’en obtenir ira sans cesse en diminuant, à raison du nombre toujours croissant des équations de conditions auxquelles on aura à satisfaire.

V. En retournant aux coordonnées primitives, au moyen des formules (5), l’équation (6), de la tangente au point $(x',y'),$ deviendra

${\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}(x-x')+{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}(y-y')=0\,;\qquad$(17)

équation dans laquelle les deux constantes $x'$ et $y'$ sont liées entre elles par l’équation (2), et ne doivent ainsi compter que pour une seule. Rien ne sera donc plus facile que d’obtenir l’équation de la tangente à une courbe, par un point donné sur cette courbe.

Si le point $(x',y')$ n’est pas donné, cette équation, en y mettant, pour $x',y',$ tous les systèmes de valeurs compatibles avec la relation (2), pourra indistinctement exprimer toutes les tangentes à la courbe. On pourra donc ainsi profiter de l’indétermination de $x'$ et $y'$ pour assujettir une tangente demandée à une condition donnée.

Si, par exemple, on veut assujettir la tangente à passer par un point donné $(a,b),$ il faudra exprimer que les coordonnées de ce point satisfont à l’équation (17), ce qui donnera