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les racines de l’autre seront donc (4)

${\begin{aligned}&x=+{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}\pm {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}.{\sqrt {-1}}\right),\\&x=-{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}\pm {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}.{\sqrt {-1}}\right),\\&x=+{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}\pm {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}.{\sqrt {-1}}\right),\\&x=-{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}\pm {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}.{\sqrt {-1}}\right),\\&x=+{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}\pm {\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}.{\sqrt {-1}}\right),\\&x=-{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}\pm {\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}.{\sqrt {-1}}\right),\\&x=+{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}\pm {\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}.{\sqrt {-1}}\right),\\&x=-{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}\pm {\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}.{\sqrt {-1}}\right).\end{aligned}}$

18. Lorsque $m=17,$ les racines sont encore exprimables par des radicaux du second degré ; mais les moyens de les obtenir, dans ce cas, sortent tout à fait des élémens, et tout ce qu’on peut faire alors en s’y renfermant, est de faire dépendre la recherche de ces racines de la résolution d’une équation complète du huitième degré. Il serait fort désirable que l’on découvrit quelque procédé bien simple et bien uniforme pour résoudre toutes les équations à deux termes dans lesquelles l’exposant de l’inconnue est un quelconque des nombres de la série

$1,\quad 2,\quad 3,\quad 5,\quad 17,\quad 257,\quad 65537,\ldots$

c’est-à-dire un des nombres de la série

$1,\quad 1+2,\quad 1+2^{2},\quad 1+2^{2^{2}},\quad 1+2^{2^{2^{2}}},\ldots$