![{\displaystyle x+{\frac {1}{x}}=y,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b937138d8e7fc79a143fae511314b66ba3fa986)
d’où
![{\displaystyle \quad x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}=y^{2}-2\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55278d113b5f4022c46c6fcd71ca9c290fb818e5)
il viendra, en substituant,
![{\displaystyle y^{2}+y-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f41243b6b02f2f27541ba8f5b3c3eda4f7631736)
d’où on tirera
![{\displaystyle y-2={\frac {-5\pm {\sqrt {5}}}{2}},\qquad y+2={\frac {3\pm {\sqrt {5}}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ccc999fefe8af6824c477f4394110dd8d469214)
et par suite
![{\displaystyle y^{2}-4=(y-2)(y+2)={\frac {-5\mp {\sqrt {5}}}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff5b2f18cd1b839fa0fbd492ebb816f8c1facde6)
mais l’équation de relation entre
et
donne
![{\displaystyle x={\frac {y\pm {\sqrt {y^{2}-4}}}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6e47c908edde3f0896da3c3d82a4f799cfc27d8)
en substituant donc pour
et
leurs valeurs, on trouvera finalement, pour les cinq racines de la proposée,
![{\displaystyle x=+1,\quad {\begin{aligned}&x={\frac {1}{4}}\left\{\left(-1+{\sqrt {5}}\right)\pm {\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}.{\sqrt {-1}}\right\},\\\\&x={\frac {1}{4}}\left\{\left(-1-{\sqrt {5}}\right)\pm {\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}.{\sqrt {-1}}\right\}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a8c2f972485b68fe18d306efe2caa87e1c45fce)
les cinq racines de l’autre équation seront donc (4)
![{\displaystyle x=-1,\quad {\begin{aligned}&x={\frac {1}{4}}\left\{\left(1-{\sqrt {5}}\right)\pm {\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}.{\sqrt {-1}}\right\},\\\\&x={\frac {1}{4}}\left\{\left(1+{\sqrt {5}}\right)\pm {\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}.{\sqrt {-1}}\right\}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdd84c69cbe92cb0f63ce41a5e2000761c96d48f)
12. Soit
les équations à résoudre seront
![{\displaystyle x^{6}-1=0,\qquad x^{6}+1=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e13742a9b15660605be3d1bee773ec16d1108475)
la première revient à