pour la caustique, qu’une courbe symétrique, par rapport à l’axe des
; 2.o qu’ayant diminué arbitrairement d’une même quantité la densité de la comète, en tous ses points, il faudra, pour avoir la valeur complète de
ajouter une constante à la valeur qu’on aura déduite du procédé que nous venons d’indiquer.
Observons encore que la caustique admise ne sera pas proprement la queue de la comète ; mais que, pour l’en déduire, il faudra supposer que l’axe de cette caustique oscille autour du centre de l’astre, de part et d’autre de l’axe des
, d’une quantité angulaire égale à l’angle sous lequel serait, vu de ce centre, le demi-diamètre du disque solaire.
Faisons présensement quelques applications ; et, pour prendre un cas un peu général, supposons que la caustique soit une section conique quelconque, ayant son axe dans l’axe des
et son foyer à l’origine ; son équation polaire sera, comme l’on sait
![{\displaystyle r={\frac {{\frac {1}{2}}p}{1+\varepsilon \operatorname {Cos} .\theta }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5cb08c48af3b34088ac7c43ce28c5457fb25604)
étant le paramètre et
le rapport de l’excentricité au demi-axe, cela revient à
![{\displaystyle 2(1+\varepsilon \operatorname {Cos} .\theta )r=p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9ba1256b43df5e6c86700f9f1ffc57efb4d9b3d)
d’où, en différentiant,
![{\displaystyle (1+\varepsilon \operatorname {Cos} .\theta )\operatorname {d} r=\varepsilon r\operatorname {d} \theta \operatorname {Sin} .\theta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/594b91d504495fceff06934cd3959c781ff11170)
ces deux équations donnent
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .\theta ={\frac {p\operatorname {d} r}{2\varepsilon r^{2}\operatorname {d} \theta }},\qquad \operatorname {Cos} .\theta ={\frac {r(p-2r)\operatorname {d} \theta }{2\varepsilon r^{2}\operatorname {d} \theta }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8377ddefab939abc3a3f670e9d619b6a898dd58d)
d’où
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .^{2}\theta +\operatorname {Cos} .^{2}\theta =1={\frac {p^{2}\operatorname {d} r^{2}+r^{2}(p-2r)^{2}\operatorname {d} \theta ^{2}}{4\varepsilon ^{2}r^{4}\operatorname {d} \theta ^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ae95e60f53a9432d06c45aa14c09e8042ed1573)
ce qui revient à
![{\displaystyle \operatorname {d} \theta ^{2}={\frac {p^{2}\operatorname {d} r^{2}}{r^{2}\left\{4\varepsilon ^{2}r^{2}-(p-2r)^{2}\right\}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2deea18721202568d1bc0559349a90dedfd6eadd)
substituant cette valeur dans l’équation (12), elle deviendra, toutes réductions faites,