ce qui donnera, en substituant dans (7),
(8)
tirant de cette équation la valeur de pour la substituer dans l’équation (7), celle-ci deviendra
posant enfin, pour abréger, comme dans la théorie du mirage,
on aura, pour l’équation différentielle de la trajectoire décrite par le rayon qui fait, à son point de départ, avec la droite qui joint ce point au centre de l’astre, un angle dont la tangente tabulaire est ,
(9)
L’intégrale de cette équation, dans chaque hypothèse sur la forme de la fonction fera connaître la trajectoire décrite.
Il conviendra pour séparer les variables, et ramener ainsi le problème aux quadratures, de passer aux coordonnées polaires, en posant
il en résultera successivement
ce qui donnera, en substituant dans l’équation (9),