Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1829-1830, Tome 20.djvu/69

${\begin{aligned}p&=\pm {\frac {\Sigma (\alpha )-nx'}{\sqrt {L^{2}-\left[\Sigma (\alpha )-nx'\right]^{2}-\left[\Sigma (\beta )-ny'\right]^{2}}}}\,;\\\\q&=\pm {\frac {\Sigma (\beta )-ny'}{\sqrt {L^{2}-\left[\Sigma (\alpha )-nx'\right]^{2}-\left[\Sigma (\beta )-ny'\right]^{2}}}}\,;\\\\{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}+Lp&=\mp {\frac {L}{\sqrt {L^{2}-\left[\Sigma (\alpha )-nx'\right]^{2}-\left[\Sigma (\beta )-ny'\right]^{2}}}}\,;\end{aligned}}$

substituant ces valeurs dans l’équation (2), elle deviendra, en transposant et chassant le dénominateur,

$\left[\Sigma (\gamma )-nz'\right]{\sqrt {L^{2}-\left[\Sigma (\alpha )-nx'\right]^{2}-\left[\Sigma (\beta )-ny'\right]^{2}}}$

$=\pm \left\{L^{2}-\left[\Sigma (\alpha )-nx'\right]^{2}-\left[\Sigma (\beta )-ny'\right]^{2}\right\}\,;$

ou bien

$\Sigma (\gamma )-nz'=\pm {\sqrt {L^{2}-\left[\Sigma (\alpha )-nx'\right]^{2}-\left[\Sigma (\beta )-ny'\right]^{2}}}\,;$

d’où, en quarrant, supprimant les accens et transposant,

$\left\{x-{\frac {\Sigma (\alpha )}{n}}\right\}^{2}+\left\{y-{\frac {\Sigma (\beta )}{n}}\right\}^{2}+\left\{z-{\frac {\Sigma (\gamma )}{n}}\right\}^{2}=\left({\frac {L}{n}}\right)^{2}\,;$

équation de la surface cherchée, que l’on voit être une sphère ayant son centre au centre des moyennes distances des sommets du polygone donné et son rayon égal à la n.^ième partie de la longueur donnée.

C’est encore là un résultat qui aurait pu être facilement prévu à l’avance. Si, en effet, on suppose des masses égales à l’unité situées à tous les sommets du polyèdre, la somme algébrique des perpendiculaires abaissées de ces sommets, sur un plan quelconque, ne sera autre chose que la somme des momens de ces masses par rapport à ce plan, et devra conséquemment être égalé à $n$ fois la perpendiculaire abaissée sur le même plan de leur centre commun de gravité, centre des moyennes distances de ces sommets ; si donc on veut que la somme des premières perpendiculaires soit constante, il faudra que la dernière le soit aussi ; propriété qui ne saurait appartenir qu’aux plans tangens à une sphère, ayant son centre au centre des moyennes distances des sommets du polyèdre et son rayon égal à la n.^ième partie de la somma des perpendiculaires dont il s’agit.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Correction (4^e égalité, 2^e membre) : « $L-$ » → « $L^{2}-$ » (coquille)