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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$\left[\Sigma (\beta )-ny'\right]{\sqrt {L^{2}-\left[\Sigma (\alpha )-nx'\right]^{2}}}=\pm \left\{L^{2}-\left[\Sigma (\alpha )-nx'\right]^{2}\right\}\,;$

ou bien

$\left[\Sigma (\beta )-ny'\right]=\pm {\sqrt {L^{2}-\left[\Sigma (\alpha )-nx'\right]^{2}}}\,;$

d’où, en quarrant, supprimant les accens et transposant,

$\left\{x-{\frac {\Sigma (\alpha )}{n}}\right\}^{2}+\left\{y-{\frac {\Sigma (\beta )}{n}}\right\}^{2}=\left({\frac {L}{n}}\right)^{2},$

équation de la courbe cherchée, que l’on voit être un cercle ayant son centre au centre des moyennes distances des sommets du polygone donné et son rayon égal à la n.^ième partie de la longueur donnée. Ce résultat pouvait être d’ailleurs facilement prévu. Si, en effet, on suppose des masses égales à l’unité, situées aux sommets du polygone dont il s’agit, la somme des momens de ces masses, par rappori à une droite quelconque située sur le plan de ce polygone, laquelle se réduira à la somme algébrique des perpendiculaires abaissées sur cette droite de ses divers sommets, devra être égale à n fois la perpendiculaire abaissée du centre commun de gravité de ces masses sur la même droite ; si donc l’on veut que la somme des premières perpendiculaires soit constante, il faudra que la dernière le soit également ; ce qui ne pourra arriver que pour des tangentes à un cercle, ayant son centre au centre des moyennes distances des sommets du polygone et son rayon égal à la n.^ième partie de la somme des perpendiculaires dont il s’agit.

PROBLÈME ii. À quelle surface sont tangens tous les plans sur lesquels abaissant des perpendiculaires de tous les sommets d’un polyèdre donné, la somme algébrique des perpendiculaires relatives à chaque plan est égale à une longueur constante donnée ?

Solution. Soit rapporté le polyèdre donné à trois axes rectangulaires, et soient alors ses sommets $(\alpha ,\beta ,\gamma ),(\alpha ',\beta ',\gamma '),(\alpha '',\beta '',\gamma ''),\ldots$ Soit $(x',y',z')$ un des points de la surface cherchée ;