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Nous avons vu qu’on avait $r^{2}\operatorname {d} \theta =c\operatorname {d} t,$ et qu’ainsi

${\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} t}}={\frac {c}{r^{2}}}\,;$

on en conclut, en prenant $\theta$ pour variable indépendante,

${\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} t}}={\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} \theta }}.{\frac {c}{r^{2}}}=-c.{\frac {\operatorname {d} \left({\frac {1}{r}}\right)}{\operatorname {d} \theta }}\,;$

et par suite

${\frac {\operatorname {d} ^{2}r}{\operatorname {d} t^{2}}}\quad$ou$\quad {\frac {\operatorname {d} \left({\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} t}}\right)}{\operatorname {d} t}}\quad$ou$\quad {\frac {c}{r^{2}}}{\frac {\operatorname {d} \left({\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} t}}\right)}{\operatorname {d} \theta }}=-{\frac {c^{2}}{r^{2}}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}\left({\frac {1}{r}}\right)}{\operatorname {d} \theta ^{2}}}\,;$

substituant ces valeurs de ${\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} t}}$ et de ${\frac {\operatorname {d} ^{2}r}{\operatorname {d} t^{2}}}$ dans l’expression de $R,$ elle deviendra,

$R=r.{\frac {c^{2}}{r^{4}}}+{\frac {c^{2}}{r^{2}}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}\left({\frac {1}{r}}\right)}{\operatorname {d} \theta ^{2}}},$

c’est-à-dire,

$R={\frac {c^{2}}{r^{2}}}\left\{{\frac {1}{r}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}\left({\frac {1}{r}}\right)}{\operatorname {d} \theta ^{2}}}\right\}\,;$

c’est l’expression de $R$ donnée par M. Binet.

Pour juger à quel point cette expression simplifie le calcul, dans chaque cas particulier, il suffit de l’appliquer à quelques exemples. Soit d’abord une ellipse dont $a$ représente le demi-grand axe et $e$ l’excentricité ; on aura pour l’équation polaire de cette courbe

$r={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+e\operatorname {Cos} .\theta }}$

ainsi