Nous avons vu qu’on avait
et qu’ainsi
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} t}}={\frac {c}{r^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6746249a820eeb5a5e5c18ad44b87145f89d3164)
on en conclut, en prenant
pour variable indépendante,
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} t}}={\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} \theta }}.{\frac {c}{r^{2}}}=-c.{\frac {\operatorname {d} \left({\frac {1}{r}}\right)}{\operatorname {d} \theta }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c15ff668ba5f5f52a560dfd3a3c4c626baad9107)
et par suite
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}r}{\operatorname {d} t^{2}}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b6e5d38aaded33806ce59863eb4d828c688a763)
ou
![{\displaystyle \quad {\frac {\operatorname {d} \left({\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} t}}\right)}{\operatorname {d} t}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f1a81a37973d0a0ea12d7116caf381b59a3b52b)
ou
![{\displaystyle \quad {\frac {c}{r^{2}}}{\frac {\operatorname {d} \left({\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} t}}\right)}{\operatorname {d} \theta }}=-{\frac {c^{2}}{r^{2}}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}\left({\frac {1}{r}}\right)}{\operatorname {d} \theta ^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40ff108acc40df9f900658c01005b27ce2248171)
substituant ces valeurs de
et de
dans l’expression de
elle deviendra,
![{\displaystyle R=r.{\frac {c^{2}}{r^{4}}}+{\frac {c^{2}}{r^{2}}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}\left({\frac {1}{r}}\right)}{\operatorname {d} \theta ^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8ab859ee279ff4429b133b0b685156f06e850ae)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle R={\frac {c^{2}}{r^{2}}}\left\{{\frac {1}{r}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}\left({\frac {1}{r}}\right)}{\operatorname {d} \theta ^{2}}}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1139b603306b331922b90e060432456573d35b45)
c’est l’expression de
donnée par M. Binet.
Pour juger à quel point cette expression simplifie le calcul, dans chaque cas particulier, il suffit de l’appliquer à quelques exemples. Soit d’abord une ellipse dont
représente le demi-grand axe et
l’excentricité ; on aura pour l’équation polaire de cette courbe
![{\displaystyle r={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+e\operatorname {Cos} .\theta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7f624525bd415d3b9c88070198c3cc947ddcbb4)
ainsi