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$x{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}+y{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}=r{\frac {\operatorname {d} r^{2}}{\operatorname {d} t^{2}}}-r^{2}\left({\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} t}}\right)^{2}\,;$

on aura donc, pour la valeur de la force $R$,

$R=r\left({\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} t}}\right)^{2}-{\frac {\operatorname {d} ^{2}r}{\operatorname {d} t^{2}}}.$

Cette valeur se compose de deux parties, dont la première $r\left({\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} t}}\right)^{2}$ est, comme nous l’avons vu ci-dessus, la force qui devrait agir sur la sphère mobile pour faire équilibre à la force centrifuge qui a lieu dans le cercle dont le rayon est $r$, avec la vîtesse angulaire ${\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} t}}$ du rayon vecteur ; et la seconde $-{\frac {\operatorname {d} ^{2}r}{\operatorname {d} t^{2}}}$ est la force qui devrait agir sur la même sphère, dans le sens du même rayon lorsqu’on le suppose immobile, pour que son mouvement, le long de ce rayon, variât précisément comme il varie en même temps que le rayon change de position ; résultat remarquable, parce qu’on ne voit point comment on pourrait prévoir à priori qu’il faut prendre, pour le premier terme de la valeur de $R,$ la force centrifuge qui aurait lieu dans le cercle dont il vient d’être question.

Il est presque inutile de remarquer que si l’on trouve pour le second terme $-{\frac {\operatorname {d} ^{2}r}{\operatorname {d} t^{2}}},$ et non pas seulement ${\frac {\operatorname {d} ^{2}r}{\operatorname {d} t^{2}}},$ c’est qu’on a regardé comme positives les forces qui agissent pour porter la sphère $M$ vers l’origine, et par conséquent pour diminuer la distance $r$.

M. Binet, inspecteur des études à l’école polytechnique, a donné, il y a long-temps, une expression de la force $R$ qui ne contient pas $\operatorname {d} t,$ et donne sur-le-champ la valeur de cette force, d’après l’équation entre $r$ et $\theta$ de la trajectoire décrite ; elle est bien préférable, pour la simplicité des calculs, à celle qu’on donne ordinairement ; voici comment an peut la déduire immédiatement de celle que nous venons d’obtenir.