![{\displaystyle x{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}-y{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e3fb05cba979bf511060939021a2b8227f78aca)
ou
![{\displaystyle {\frac {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}}={\frac {y}{x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b2eafaabc78051f551ff6b920f253e72b8ec549)
Or, si l’on considère, comme on le fait ordinairement, la force
comme attractive, c’est-à-dire, comme tendant à diminuer les deux coordonnées, ses deux composantes seront
![{\displaystyle -{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}},\qquad -{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e0620b1d401017c0832c76b0cad27c006d67410)
et leur rapport, que nous venons de trouver égal à
exprimera conséquemment la tangente tabulaire de l’angle que fait la direction de cette force
avec l’axe des
or,
est aussi la tangente tabulaire de l’angle que fait le rayon vecteur avec le même axe, d’où il suit que la force
est dirigée suivant ce rayon vecteur.
On aura, d’après cela, pour les deux équations du mouvement,
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}=-{\frac {Rx}{r}},\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}=-{\frac {Ry}{r}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53a22fa827e727354879061ca294d3d274434d21)
d’où, en prenant la somme de leurs produits respectifs par
et
et observant que ![{\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3b64b1b96e4e49a9fbb787572e5a0e7e26e9d4f)
![{\displaystyle x{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}+y{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}=-Rr\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41af667a9a5d9443e0630c0173841ba85cc9d373)
or, nous avons trouvé ci-dessus