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$x{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}-y{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}=0,$

ou

${\frac {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}}={\frac {y}{x}}.$

Or, si l’on considère, comme on le fait ordinairement, la force $R$ comme attractive, c’est-à-dire, comme tendant à diminuer les deux coordonnées, ses deux composantes seront

$-{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}},\qquad -{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}},$

et leur rapport, que nous venons de trouver égal à ${\frac {y}{x}},$ exprimera conséquemment la tangente tabulaire de l’angle que fait la direction de cette force $R$ avec l’axe des $x\,;$ or, ${\frac {y}{x}}$ est aussi la tangente tabulaire de l’angle que fait le rayon vecteur avec le même axe, d’où il suit que la force $R$ est dirigée suivant ce rayon vecteur.

On aura, d’après cela, pour les deux équations du mouvement,

${\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}=-{\frac {Rx}{r}},\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}=-{\frac {Ry}{r}}\,;$

d’où, en prenant la somme de leurs produits respectifs par $x$ et $y,$ et observant que $x^{2}+y^{2}=r^{2}\,;$

$x{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}+y{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}=-Rr\,;$

or, nous avons trouvé ci-dessus