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décrite sur le plan ; bien entendu que la position et la vîtesse initiale de la sphère dans le tube, d’après lesquelles doivent être déterminées les constantes introduites par l’intégration, seront les mêmes dans les deux cas.

Je crois devoir observer, en terminant cette lettre, que l’équation

$x{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}+y{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}+z{\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} t^{2}}}=r{\frac {\operatorname {d} ^{2}r}{\operatorname {d} t^{2}}}+\left({\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} t}}\right)^{2},$

peut servir à obtenir directement, par une transformation très-simple, et en n’employant que le calcul différentiel, la solution d’un problème de mécanique qu’on résout ordinairement d’une manière plus compliquée et en employant le calcul intégral. Ce problème acquiert une grande importance en ce que c’est de sa solution qu’on déduit les trois lois de Képler ; il a pour objet de déterminer la direction et l’intensité de la force $R,$ en vertu de laquelle un point mobile décrit une courbe plane donnée, de manière que les aires mesurées sur le plan de la courbe, autour d’un point fixe, situé dans ce plan, soient proportionnelles aux temps correspondans.

En prenant le point pour l’origine des coordonnées rectangulaires $x$ et $y$, dans le plan des rayons vecteurs $r$, et nommant $\theta$ l’angle que fait $r$ avec l’axe des $x,$ à l’époque $t,$ le petit secteur décrit pendant l’instant $\operatorname {d} t$ a pour valeur ${\frac {1}{2}}r^{2}\operatorname {d} \theta ,$ et, comme cette aire doit être proportionnelle au temps $\operatorname {d} t,$ on a $r^{2}\operatorname {d} \theta =C\operatorname {d} t.$ Or nous avons trouvé

$r^{2}\operatorname {d} \theta =x\operatorname {d} y-y\operatorname {d} x,$

ainsi

$x{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}-y{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}=c,$

et, en différentiant,