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$x{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}+y{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}+z{\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} t^{2}}}=0\,;\qquad$(5)

mais

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},$

d’où l’on lire successivement

$x{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}+y{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}+z{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} t}}=r{\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} t}}\,;$

$x{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}+y{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}+z{\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} t^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}+\operatorname {d} z^{2}}{\operatorname {d} t^{2}}}=r{\frac {\operatorname {d} ^{2}r}{\operatorname {d} t^{2}}}+\left({\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}\,;$

c’est-à-dire (4)

$x{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}+y{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}+z{\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} t^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} r^{2}+r^{2}\operatorname {d} \theta ^{2}}{\operatorname {d} t^{2}}}=r{\frac {\operatorname {d} ^{2}r}{\operatorname {d} t^{2}}}+\left({\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} t}}\right)^{2},$

ou, en réduisant,

$x{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}+y{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}+z{\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} t^{2}}}=z{\frac {\operatorname {d} r^{2}}{\operatorname {d} t^{2}}}-r^{2}\left({\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} t}}\right)^{2}\,;$

donc finalement (5)

${\frac {\operatorname {d} r^{2}}{\operatorname {d} t^{2}}}-r\left({\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} t}}\right)^{2}=0\,;$

c’est-à-dire que l’équation qui détermine la courbe décrite par le centre de la sphère sur la surface conique est la même que celle qui détermine son mouvement sur le plan ; et, comme l’on suppose que l’on a la même relation donnée entre $t$ et $\theta$ dans les deux cas, la valeur de $r$ sera aussi la même pour les mêmes valeurs de ces deux variables ; ce qui démontre que le développement de la courbe décrite sur la surface conique est identiquement le même que la courbe