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nommant $x,y,z$ les trois coordonnées du centre de la sphère, dans son mouvement sur cette surface, on a

$\operatorname {d} s^{2}=\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}+\operatorname {d} z^{2},$

ainsi

$\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}+\operatorname {d} z^{2}=\operatorname {d} r^{2}+r^{2}\operatorname {d} \theta ^{2}\,;\qquad$(4)

mais, comme on fait abstraction de la pesanteur, la seule force qui agisse sur la sphère est la pression $N$ du tube qui est perpendiculaire à la direction de son axe ; les trois composantes de cette force sont donc respectivement égales à

${\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}},\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}},\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} t^{2}}},$

et en posant

$\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} t^{2}}}\right)^{2}=W\,;$

les cosinus des trois angles que fait sa direction avec les axes sont

${\frac {1}{W}}.{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}},\qquad {\frac {1}{W}}.{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}},\qquad {\frac {1}{W}}.{\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} t^{2}}}\,;$

les cosinus des trois angles que l’axe du tube forme avec les mêmes axes sont

${\frac {x}{r}},\qquad {\frac {y}{r}},\qquad {\frac {z}{r}}\,;$

et comme ces deux directions forment un angle droit, puisque la pression exercée par le tube est nécessairement perpendiculaire à son axe, la somme des produits des cosinus correspondans sera nulle ; en sorte qu’on aura, en supprimant le facteur commun ${\frac {1}{Wr}},$ l’équation