nommant
les trois coordonnées du centre de la sphère, dans son mouvement sur cette surface, on a
![{\displaystyle \operatorname {d} s^{2}=\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}+\operatorname {d} z^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2804ff01cb4876c22488e864b65bad74ea5f125a)
ainsi
![{\displaystyle \operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}+\operatorname {d} z^{2}=\operatorname {d} r^{2}+r^{2}\operatorname {d} \theta ^{2}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7bf2d992af13aee6eb8add8c573caf037a0f2b2)
(4)
mais, comme on fait abstraction de la pesanteur, la seule force qui agisse sur la sphère est la pression
du tube qui est perpendiculaire à la direction de son axe ; les trois composantes de cette force sont donc respectivement égales à
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}},\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}},\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} t^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ac905770b73f3d1e184d20139d93d7b8cb244f4)
et en posant
![{\displaystyle \left({\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} t^{2}}}\right)^{2}=W\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75293dc820b33e7b316e9131be1d29f648134b41)
les cosinus des trois angles que fait sa direction avec les axes sont
![{\displaystyle {\frac {1}{W}}.{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}},\qquad {\frac {1}{W}}.{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}},\qquad {\frac {1}{W}}.{\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} t^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ade9cb6e66494496af1f19bdcbc56f10a18d6529)
les cosinus des trois angles que l’axe du tube forme avec les mêmes axes sont
![{\displaystyle {\frac {x}{r}},\qquad {\frac {y}{r}},\qquad {\frac {z}{r}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6e6f1b748f89506b3f2634752f8022daa7d2062)
et comme ces deux directions forment un angle droit, puisque la pression exercée par le tube est nécessairement perpendiculaire à son axe, la somme des produits des cosinus correspondans sera nulle ; en sorte qu’on aura, en supprimant le facteur commun
l’équation