On peut généraliser le problème de Bernouilli en supposant que l’axe du tube, au lieu de se mouvoir dans un plan horizontal y décrit une surface conique quelconque ; et j’ai fait, il y a longtemps, à ce sujet, une remarque qui ne me paraît pas dépourvue d’intérêt ; elle consiste en ce que si, faisant toujours abstraction de la pesanteur, on développe la surface conique sur un plan, et qu’on suppose que l’axe du tube décrive exactement sur ce plan, dans les mêmes intervalles de temps, les espaces angulaires qu’il aurait décrit sur la surface conique dont il s’agit ; en traçant sur ce même plan la trajectoire plane qu’y décrirait le centre de la sphère mobile, en vertu du mouvement du tube à il suffira de plier cette surface plane sur la surface conique, de manière que les situations correspondantes de l’axe du tube coïncident, pour obtenir la trajectoire qui devrait être décrite sur cette dernière surface, par le centre de la sphère.
Pour le démontrer, en conservant aux lettres et la même signification que dans les précédées calculs, où le tube était supposé se mouvoir dans un plan, on aura, d’après ce qui a été dit plus haut,
pour l’équation qui donne en fonction de lorsque est lui-même donné en fonction de par l’équation qui détermine le mouvement du tube. Il s’agit donc de démontrer qu’on a la même équation en et lorsque le tube se meut sur la surface conique ; or, c’est ce qu’il est bien facile de vérifier ; car d’abord et restant les mêmes lorsqu’on enveloppe le plan sur la surface conique, ainsi que l’arc décrit par le centre de la sphère, en représentant cet arc par , on aura, sur le plan,
et cette valeur restera la même sur la surface conique ; mais, en
